Em uma cultura, há inicialmente bactérias. Uma hora depois, 1, o número de bactérias passar a ser . Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bacterias presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique.

Passo 1

Então, a gente tem um problema onde originalmente tem bactérias. Depois de uma hora, esse número cresce para . A gente precisa descobrir quanto tempo vai levar para que o número de bactérias triplique, ou seja, chegar a . Para resolver isso, vamos usar a matemática por trás do crescimento exponencial, que é quando a taxa de crescimento é proporcional ao número atual de bactérias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a taxa de crescimento ser proporcional ao número de bactérias. Isso quer dizer que a variação no número de bactérias ao longo do tempo é dada por uma taxa constante multiplicada pelo número atual de bactérias. Matematicamente, isso é representado por uma equação diferencial:
Aqui, é a taxa de crescimento que a gente quer descobrir.

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, a gente separa as variáveis e integra:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração. Para simplificar, podemos reescrever isso como:
Aqui, é a quantidade inicial de bactérias.

Passo 4

Sabemos que após 1 hora, o número de bactérias é . Vamos usar isso para encontrar :
Dividindo ambos os lados por :
Agora, aplicamos o logaritmo natural para resolver para :

Passo 5

Agora que temos , vamos encontrar o tempo necessário para que :
Dividindo por :
Aplicando o logaritmo natural:
Substituindo :
Resolvendo para :

Resposta

O tempo necessário para que o número de bactérias triplique é aproximadamente horas.

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