Em uma cultura, há inicialmente
bactérias. Uma hora depois,
1, o número de bactérias passar a ser
. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bacterias presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique.
Passo 1
Então, a gente tem um problema onde originalmente tem
bactérias. Depois de uma hora, esse número cresce para
. A gente precisa descobrir quanto tempo vai levar para que o número de bactérias triplique, ou seja, chegar a
. Para resolver isso, vamos usar a matemática por trás do crescimento exponencial, que é quando a taxa de crescimento é proporcional ao número atual de bactérias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a taxa de crescimento ser proporcional ao número de bactérias. Isso quer dizer que a variação no número de bactérias ao longo do tempo é dada por uma taxa constante multiplicada pelo número atual de bactérias. Matematicamente, isso é representado por uma equação diferencial:
Aqui,
é a taxa de crescimento que a gente quer descobrir.
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, a gente separa as variáveis e integra:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração. Para simplificar, podemos reescrever isso como:
Aqui,
é a quantidade inicial de bactérias.
Passo 4
Sabemos que após 1 hora, o número de bactérias é
. Vamos usar isso para encontrar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, aplicamos o logaritmo natural para resolver para
:
Passo 5
Agora que temos
, vamos encontrar o tempo
necessário para que
:
Dividindo por
:
Aplicando o logaritmo natural:
Substituindo
:
Resolvendo para
:
Resposta
O tempo necessário para que o número de bactérias triplique é aproximadamente
horas.