Em uma cultura, há inicialmente bactérias. Uma hora depois, 1, o número de bactérias passar a ser . Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bacterias presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique.
Passo 1
Então, a gente tem um problema onde originalmente tem bactérias. Depois de uma hora, esse número cresce para . A gente precisa descobrir quanto tempo vai levar para que o número de bactérias triplique, ou seja, chegar a . Para resolver isso, vamos usar a matemática por trás do crescimento exponencial, que é quando a taxa de crescimento é proporcional ao número atual de bactérias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a taxa de crescimento ser proporcional ao número de bactérias. Isso quer dizer que a variação no número de bactérias ao longo do tempo é dada por uma taxa constante multiplicada pelo número atual de bactérias. Matematicamente, isso é representado por uma equação diferencial:
Aqui, é a taxa de crescimento que a gente quer descobrir.
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, a gente separa as variáveis e integra:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração. Para simplificar, podemos reescrever isso como:
Aqui, é a quantidade inicial de bactérias.
Passo 4
Sabemos que após 1 hora, o número de bactérias é . Vamos usar isso para encontrar :
Dividindo ambos os lados por :
Agora, aplicamos o logaritmo natural para resolver para :
Passo 5
Agora que temos , vamos encontrar o tempo necessário para que :
Dividindo por :
Aplicando o logaritmo natural:
Substituindo :
Resolvendo para :
Resposta
O tempo necessário para que o número de bactérias triplique é aproximadamente horas.