In Problems 1-18 use Definition 7.1.1 to find .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você precisa encontrar a transformada de Laplace da função usando a Definição 7.1.1. A transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa na matemática para resolver equações diferenciais. Aqui, vamos usar a definição básica dela para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é dada por:
Isso significa que vamos integrar a função multiplicada por de 0 até o infinito.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função que nos foi dada:
Isso significa que vale 4 entre 0 e 2, e depois passa a valer 0. Então, a integral para a transformada de Laplace fica restrita de 0 a 2, já que além disso a função é zero.

Passo 4

Vamos substituir na definição da transformada de Laplace:
Agora, vamos calcular essa integral.

Passo 5

Integrando em relação a :
Agora, vamos avaliar essa antiderivada de 0 a 2.

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
Como , simplificamos:

Resposta

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Suppose that for and that for . When does
Use Problem 41 and a change of variables to obtain the generalization
of the result in Theorem 7.1.1(b).
Encontre a solução do P.V.I. dado:
Em uma cultura, há inicialmente bactérias. Uma hora depois, 1, o número de bactérias passar a ser . Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bacterias presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique.