In Problems 1-18 use Definition 7.1.1 to find
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você precisa encontrar a transformada de Laplace da função
usando a Definição 7.1.1. A transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa na matemática para resolver equações diferenciais. Aqui, vamos usar a definição básica dela para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Isso significa que vamos integrar a função
multiplicada por
de 0 até o infinito.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
que nos foi dada:
Isso significa que
vale 4 entre 0 e 2, e depois passa a valer 0. Então, a integral para a transformada de Laplace fica restrita de 0 a 2, já que além disso a função é zero.
Passo 4
Vamos substituir
na definição da transformada de Laplace:
Agora, vamos calcular essa integral.
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Agora, vamos avaliar essa antiderivada de 0 a 2.
Passo 6
Aplicando os limites de integração:
Como
, simplificamos:
Resposta
Exercícios relacionados
Suppose that
for
and that
for
. When does
Use Problem 41 and a change of variables to obtain the generalization
of the result in Theorem 7.1.1(b).
Encontre a solução do P.V.I. dado:
Em uma cultura, há inicialmente
bactérias. Uma hora depois,
1, o número de bactérias passar a ser
. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bacterias presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique.