Encontre a solução do P.V.I. dado: y dy = 4 x (y^2 + 1^(1/2)) y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para encontrar a solução do Problema de Valor Inicial (P.V.I.) dado pela equação diferencial:
com a condição inicial .
Aqui, vamos usar conceitos de equações diferenciais separáveis e integração para encontrar a solução. Vamos precisar separar as variáveis e para integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Agora, temos a variável do lado esquerdo e do lado direito, o que facilita a integração.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação:
Para o lado esquerdo, fazemos uma substituição:
  • Deixe
  • Então, ou
Substituindo na integral:
Do lado direito:

Passo 4

Igualando as integrais e simplificando:
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante :
Então, a equação fica:

Passo 5

Para isolar , elevamos ambos os lados ao quadrado:
Explicando, , então:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Finalmente, tiramos a raiz quadrada:

Resposta

A solução do P.V.I. é:

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