Encontre a solução do P.V.I. dado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para encontrar a solução do Problema de Valor Inicial (P.V.I.) dado pela equação diferencial:
com a condição inicial
.
Aqui, vamos usar conceitos de equações diferenciais separáveis e integração para encontrar a solução. Vamos precisar separar as variáveis
e
para integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Agora, temos a variável
do lado esquerdo e
do lado direito, o que facilita a integração.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Para o lado esquerdo, fazemos uma substituição:
- Deixe
- Então,
ou
Substituindo na integral:
Do lado direito:
Passo 4
Igualando as integrais e simplificando:
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Então, a equação fica:
Passo 5
Para isolar
, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Explicando,
, então:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Finalmente, tiramos a raiz quadrada:
Resposta
A solução do P.V.I. é:
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.
Suppose that
for
and that
for
. When does
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1, o número de bactérias passar a ser
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