(Lei de Resfriamento de Newton ) Determine a solução do P.V.I…
onde é uma constante e uma constante positiva. Conclua que , quando . Faça uma análise gráfica deste modelo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Lei de Resfriamento de Newton. Basicamente, essa lei descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando ele está trocando calor com o ambiente. Para resolver esse exercício, vamos precisar usar equações diferenciais, entender as condições iniciais dadas e analisar o comportamento da solução quando o tempo vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, temos a equação diferencial:
Aqui, é a temperatura do objeto no tempo , é a temperatura ambiente constante, e é uma constante positiva que representa a taxa de resfriamento.

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos reescrever a equação:
A seguir, identificamos os coeficientes para usar o método do fator integrante.

Passo 4

Calculamos o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação pela :

Passo 5

A esquerda da equação agora é a derivada de :
Integrando ambos os lados em relação ao tempo :

Passo 6

Fazendo a integração:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, isolamos :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar :

Passo 9

Substituímos de volta na solução geral:

Passo 10

Agora, vamos analisar o comportamento quando :
Isso mostra que a temperatura do objeto tende à temperatura ambiente com o tempo.

Resposta

A solução do P.V.I é:
E, conforme tende ao infinito, aproxima-se de . O gráfico dessa função é uma curva exponencial que começou em e se estabiliza em à medida que o tempo aumenta.

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