(Lei de Resfriamento de Newton ) Determine a solução do P.V.I…
onde é uma constante e uma constante positiva. Conclua que , quando . Faça uma análise gráfica deste modelo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Lei de Resfriamento de Newton. Basicamente, essa lei descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando ele está trocando calor com o ambiente. Para resolver esse exercício, vamos precisar usar equações diferenciais, entender as condições iniciais dadas e analisar o comportamento da solução quando o tempo vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, temos a equação diferencial:
Aqui, é a temperatura do objeto no tempo , é a temperatura ambiente constante, e é uma constante positiva que representa a taxa de resfriamento.
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos reescrever a equação:
A seguir, identificamos os coeficientes para usar o método do fator integrante.
Passo 4
Calculamos o fator integrante:
Multiplicamos toda a equação pela :
Passo 5
A esquerda da equação agora é a derivada de :
Integrando ambos os lados em relação ao tempo :
Passo 6
Fazendo a integração:
Onde é a constante de integração.
Passo 7
Agora, isolamos :
Passo 8
Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Passo 9
Substituímos de volta na solução geral:
Passo 10
Agora, vamos analisar o comportamento quando :
Isso mostra que a temperatura do objeto tende à temperatura ambiente com o tempo.
Resposta
A solução do P.V.I é:
E, conforme tende ao infinito, aproxima-se de . O gráfico dessa função é uma curva exponencial que começou em e se estabiliza em à medida que o tempo aumenta.