Uma curva
é definida pelas equações paramétricas
e
.
Determine onde a concavidade da curva é para cima ou para baixo.
Determine onde a concavidade da curva é para cima ou para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma curva definida por equações paramétricas, que são
e
. A gente vai usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para descobrir onde a concavidade dessa curva está para cima ou para baixo. Para isso, vamos precisar calcular algumas derivadas em relação ao parâmetro
e usar a fórmula da segunda derivada de
em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
. Isso nos ajuda a entender a inclinação da curva.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
:
Passo 4
Com essas derivadas, podemos encontrar
, que é a inclinação da curva em termos de
. A fórmula é:
Passo 5
Agora, precisamos da segunda derivada
para determinar a concavidade. A fórmula para a segunda derivada em termos paramétricos é:
Primeiro, vamos derivar
em relação a
:
Passo 6
Agora, dividimos essa derivada pela
:
Passo 7
Para determinar a concavidade, analisamos o sinal de
:
- Se
, a concavidade está para cima. - Se
, a concavidade está para baixo.
Observando a expressão
:
- O numerador
é sempre positivo, já que para todo . - O denominador
depende do sinal de : - Para
, o denominador é positivo. - Para
, o denominador é negativo.
- Para
Resposta
A concavidade da curva é para cima quando
e para baixo quando
.
Exercícios relacionados
Uma curva
é definida pelas equações paramétricas
e
.
Mostre que tem duas tangentes no ponto
e encontre suas equações.
Mostre que
Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando
aumenta.
e
Uma curva
é definida pelas equações paramétricas
e
.
Encontre os pontos em onde a tangente é horizontal ou vertical.
Encontre os pontos em
Encontre o comprimento de arco do círculo de raio
dado pelas equações paramétricas
sent ,
.