Uma curva é definida pelas equações paramétricas e .
Determine onde a concavidade da curva é para cima ou para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma curva definida por equações paramétricas, que são e . A gente vai usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para descobrir onde a concavidade dessa curva está para cima ou para baixo. Para isso, vamos precisar calcular algumas derivadas em relação ao parâmetro e usar a fórmula da segunda derivada de em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a . Isso nos ajuda a entender a inclinação da curva.

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de em relação a :

Passo 4

Com essas derivadas, podemos encontrar , que é a inclinação da curva em termos de . A fórmula é:

Passo 5

Agora, precisamos da segunda derivada para determinar a concavidade. A fórmula para a segunda derivada em termos paramétricos é:
Primeiro, vamos derivar em relação a :

Passo 6

Agora, dividimos essa derivada pela :

Passo 7

Para determinar a concavidade, analisamos o sinal de :
  • Se , a concavidade está para cima.
  • Se , a concavidade está para baixo.
Observando a expressão :
  • O numerador é sempre positivo, já que para todo .
  • O denominador depende do sinal de :
    • Para , o denominador é positivo.
    • Para , o denominador é negativo.

Resposta

A concavidade da curva é para cima quando e para baixo quando .

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e
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