Encontre o comprimento de arco do círculo de raio r > 0 dado pelas equações paramétricas x = r * cos(t) e y = r sent , 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Vamos resumir o problema: Precisamos encontrar o comprimento de arco de um círculo com raio , dado pelas equações paramétricas e , para . Estamos trabalhando com cálculo de comprimento de arco em curvas paramétricas e vamos precisar da fórmula específica para isso, além de conhecimentos básicos de derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, lembramos a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva definida por parâmetros. Se tivermos x(t) e y(t), o comprimento L é dado por:
Aqui, a e b são os limites do parâmetro t.

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t:

Passo 4

Substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Podemos fatorar :
Sabemos que , então:

Passo 6

Finalmente, calculamos a integral:

Resposta

O comprimento de arco do círculo é .

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