Encontre o comprimento de arco do círculo de raio dado pelas equações paramétricas sent , .

Passo 1

Vamos resumir o problema: Precisamos encontrar o comprimento de arco de um círculo com raio , dado pelas equações paramétricas e , para . Estamos trabalhando com cálculo de comprimento de arco em curvas paramétricas e vamos precisar da fórmula específica para isso, além de conhecimentos básicos de derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, lembramos a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva definida por parâmetros. Se tivermos e , o comprimento é dado por:
Aqui, e são os limites do parâmetro .

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Podemos fatorar :
Sabemos que , então:

Passo 6

Finalmente, calculamos a integral:

Resposta

O comprimento de arco do círculo é .

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Uma curva é definida pelas equações paramétricas e .
Encontre os pontos em onde a tangente é horizontal ou vertical.
Uma curva é definida pelas equações paramétricas e .
Determine onde a concavidade da curva é para cima ou para baixo.
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas a seguir:
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas a seguir: