Encontre o comprimento de arco do círculo de raio
dado pelas equações paramétricas
sent ,
.
Passo 1
Vamos resumir o problema: Precisamos encontrar o comprimento de arco de um círculo com raio
, dado pelas equações paramétricas
e
, para
. Estamos trabalhando com cálculo de comprimento de arco em curvas paramétricas e vamos precisar da fórmula específica para isso, além de conhecimentos básicos de derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, lembramos a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva definida por parâmetros. Se tivermos
e
, o comprimento
é dado por:
Aqui,
e
são os limites do parâmetro
.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Podemos fatorar
:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Finalmente, calculamos a integral:
Resposta
O comprimento de arco do círculo é
.
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é definida pelas equações paramétricas
e
.
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e
.
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