Uma curva
é definida pelas equações paramétricas
e
.
Mostre que
tem duas tangentes no ponto
e encontre suas equações.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma curva
definida pelas equações paramétricas
e
. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa curva tem duas tangentes no ponto
e descobrir as equações dessas tangentes. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações paramétricas e como encontrar a derivada para determinar a inclinação da tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores de
que correspondem ao ponto
. Para isso, igualamos as equações paramétricas a 3 e 0:
Esses valores de
nos darão os pontos na curva onde queremos encontrar as tangentes.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada
para determinar a inclinação da tangente em cada ponto. Lembrando que, para equações paramétricas, a derivada é dada por:
Primeiro, calculamos
e
:
Passo 4
Vamos calcular
para cada valor de
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Com as inclinações das tangentes conhecidas, podemos escrever as equações das tangentes no ponto
usando a fórmula da reta:
Onde
é o ponto de tangência e
é a inclinação.
- Tangente com inclinação
:
- Tangente com inclinação
:
Resposta
As duas tangentes à curva
no ponto
são:
e
Exercícios relacionados
Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando
aumenta.
e
Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando
aumenta.
e
Uma curva
é definida pelas equações paramétricas
e
.
Determine onde a concavidade da curva é para cima ou para baixo.
Determine onde a concavidade da curva é para cima ou para baixo.
Uma curva
é definida pelas equações paramétricas
e
.
Encontre os pontos em onde a tangente é horizontal ou vertical.
Encontre os pontos em