Uma curva é definida pelas equações paramétricas e .
Mostre que tem duas tangentes no ponto e encontre suas equações.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma curva definida pelas equações paramétricas e . Nosso objetivo aqui é mostrar que essa curva tem duas tangentes no ponto e descobrir as equações dessas tangentes. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações paramétricas e como encontrar a derivada para determinar a inclinação da tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores de que correspondem ao ponto . Para isso, igualamos as equações paramétricas a 3 e 0:
Esses valores de nos darão os pontos na curva onde queremos encontrar as tangentes.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada para determinar a inclinação da tangente em cada ponto. Lembrando que, para equações paramétricas, a derivada é dada por:
Primeiro, calculamos e :

Passo 4

Vamos calcular para cada valor de :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Com as inclinações das tangentes conhecidas, podemos escrever as equações das tangentes no ponto usando a fórmula da reta:
Onde é o ponto de tangência e é a inclinação.
  1. Tangente com inclinação :
  1. Tangente com inclinação :

Resposta

As duas tangentes à curva no ponto são:
e

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Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando aumenta.
e
Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando aumenta.
e
Uma curva é definida pelas equações paramétricas e .
Determine onde a concavidade da curva é para cima ou para baixo.
Uma curva é definida pelas equações paramétricas e .
Encontre os pontos em onde a tangente é horizontal ou vertical.