Uma curva é definida pelas equações paramétricas e .
Encontre os pontos em onde a tangente é horizontal ou vertical.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve curvas paramétricas. A curva é definida pelas equações e . Nosso objetivo é encontrar os pontos nessa curva onde a tangente é horizontal ou vertical. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e análise de tangentes em curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a tangente a uma curva paramétrica no ponto tem inclinação dada por . Vamos calcular as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Calculando :

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Agora, encontramos a inclinação da tangente:

Passo 6

Para tangentes horizontais, a inclinação deve ser zero. Então, igualamos a zero:

Passo 7

Para tangentes verticales, o denominador deve ser zero:

Passo 8

Agora, substituímos os valores de encontrados nas equações paramétricas para obter as coordenadas dos pontos.
Para :
Para :
Para :

Resposta

Os pontos em onde a tangente é horizontal são e , e onde a tangente é vertical é .

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Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas a seguir: