Uma curva
é definida pelas equações paramétricas
e
.
Encontre os pontos em
onde a tangente é horizontal ou vertical.
Encontre os pontos em
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve curvas paramétricas. A curva
é definida pelas equações
e
. Nosso objetivo é encontrar os pontos nessa curva onde a tangente é horizontal ou vertical. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e análise de tangentes em curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a tangente a uma curva paramétrica no ponto
tem inclinação dada por
. Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Calculando
:
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Agora, encontramos a inclinação da tangente:
Passo 6
Para tangentes horizontais, a inclinação deve ser zero. Então, igualamos
a zero:
Passo 7
Para tangentes verticales, o denominador
deve ser zero:
Passo 8
Agora, substituímos os valores de
encontrados nas equações paramétricas para obter as coordenadas dos pontos.
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
Os pontos em
onde a tangente é horizontal são
e
, e onde a tangente é vertical é
.
Exercícios relacionados
Uma curva
é definida pelas equações paramétricas
e
.
Determine onde a concavidade da curva é para cima ou para baixo.
Determine onde a concavidade da curva é para cima ou para baixo.
Uma curva
é definida pelas equações paramétricas
e
.
Mostre que tem duas tangentes no ponto
e encontre suas equações.
Mostre que
Encontre o comprimento de arco do círculo de raio
dado pelas equações paramétricas
sent ,
.
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas a seguir: