Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando aumenta.
e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar uma curva usando equações paramétricas. As equações dadas são e , com variando de a . Vamos precisar entender um pouco sobre equações paramétricas e como elas descrevem curvas no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são equações paramétricas. Em vez de ter em função de , a gente tem tanto quanto em função de uma terceira variável, que aqui é . Isso permite descrever movimentos e trajetórias de forma mais flexível.

Passo 3

Vamos começar calculando alguns pontos para diferentes valores de . Por exemplo:
  • Para :
    Então, o ponto é .
  • Para :
    Ponto: .
  • Para :
    Ponto: .
  • Para :
    Ponto: .

Passo 4

Observando esses pontos, percebemos que eles estão todos sobre um círculo de raio 1, centrado na origem. As coordenadas e seguem as funções trigonométricas seno e cosseno, que descrevem movimentos circulares.

Passo 5

Agora, vamos analisar a direção da curva quando aumenta. Como varia de a , e o argumento dentro das funções trigonométricas é , isso significa que a curva fará dois giros completos ao invés de um. Porém, como o intervalo de é de a , na verdade, a curva completa apenas um círculo.

Passo 6

Por fim, para indicar a direção, observamos que conforme aumenta, também aumenta, fazendo com que o ponto percorra o círculo no sentido anti-horário. Podemos desenhar uma seta nesse sentido para indicar a trajetória.

Resposta

A curva é um círculo de raio 1 centrado na origem, percorrida no sentido anti-horário conforme aumenta de a .

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Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando aumenta.
e
Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando aumenta.
cost e sent,
Uma curva é definida pelas equações paramétricas e .
Mostre que tem duas tangentes no ponto e encontre suas equações.
Uma curva é definida pelas equações paramétricas e .
Determine onde a concavidade da curva é para cima ou para baixo.