Faça o estudo completo das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa função que você me mandou: . A gente vai fazer um estudo completo dessa função, que envolve entender onde ela está definida, como ela se comporta, seus pontos importantes como máximos ou mínimos, e como o gráfico dela se parece. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, tipo derivadas, e alguns conceitos básicos de funções quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é basicamente todos os valores de que a função consegue aceitar sem problemas. Olhando para , vemos que é um polinômio do segundo grau. Polinômios são definidos para todos os números reais, então:
í

Passo 3

Agora, vamos encontrar os zeros da função, ou seja, os valores de que fazem . Para isso, resolvemos a equação quadrática:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é negativo ( ), não existem raízes reais. Isso significa que a função não intercepta o eixo .

Passo 4

Vamos determinar o vértice da parábola. O vértice é o ponto onde a função atinge seu valor máximo ou mínimo. Para funções do tipo , a coordenada do vértice é:
Substituindo na função para encontrar :
Então, o vértice é .

Passo 5

Vamos analisar a derivada primeira para entender onde a função é crescente ou decrescente. A derivada de é:
Vamos encontrar os pontos críticos, onde :
Este é o ponto onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa. Para saber qual, observamos o sinal da derivada:
  • Para , → a função está decrescente.
  • Para , → a função está crescente.
Portanto, o ponto é um mínimo da função.

Passo 6

Agora, vamos à derivada segunda para entender a concavidade da função. A derivada segunda de é:
Como para todo , isso significa que a função é côncava para cima em todo o seu domínio. Não há pontos de inflexão.

Passo 7

Vamos analisar os limites da função quando tende ao infinito e ao menos infinito:
  • Quando :
  • Quando :
Isso mostra que a função cresce indefinidamente em ambas as direções.

Passo 8

Finalmente, vamos esboçar o gráfico da função com base nas informações que obtivemos:
  • É uma parábola com concavidade para cima.
  • O vértice está em .
  • Não intercepta o eixo .
  • A função é decrescente antes do vértice e crescente depois dele.
  • Vai para quando vai para .

Resposta

Fizemos um estudo completo da função . Determinamos que seu domínio é todos os números reais, não possui zeros reais, tem um vértice em que é um ponto de mínimo. A função é decrescente para e crescente para , além de ser côncava para cima em todo o domínio. Seu gráfico é uma parábola que não intercepta o eixo e se abre para cima.

Exercícios relacionados

Faça o estudo completo das seguintes funções:
Faça o estudo completo das seguintes funções:
Nos exercícios de 1 a 6 , ache e .
Se a curva tiver como equação vetorial, ache o cosseno do ângulo entre os vetores e .