Faça o estudo completo das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa função que você me mandou:
. A gente vai fazer um estudo completo dessa função, que envolve entender onde ela está definida, como ela se comporta, seus pontos importantes como máximos ou mínimos, e como o gráfico dela se parece. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, tipo derivadas, e alguns conceitos básicos de funções quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é basicamente todos os valores de
que a função consegue aceitar sem problemas. Olhando para
, vemos que é um polinômio do segundo grau. Polinômios são definidos para todos os números reais, então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os zeros da função, ou seja, os valores de
que fazem
. Para isso, resolvemos a equação quadrática:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Calculando o discriminante (
):
Como o discriminante é negativo (
), não existem raízes reais. Isso significa que a função não intercepta o eixo
.
Passo 4
Vamos determinar o vértice da parábola. O vértice é o ponto onde a função atinge seu valor máximo ou mínimo. Para funções do tipo
, a coordenada
do vértice é:
Substituindo
na função para encontrar
:
Então, o vértice é
.
Passo 5
Vamos analisar a derivada primeira para entender onde a função é crescente ou decrescente. A derivada de
é:
Vamos encontrar os pontos críticos, onde
:
Este é o ponto onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa. Para saber qual, observamos o sinal da derivada:
- Para
, → a função está decrescente. - Para
, → a função está crescente.
Portanto, o ponto
é um mínimo da função.
Passo 6
Agora, vamos à derivada segunda para entender a concavidade da função. A derivada segunda de
é:
Como
para todo
, isso significa que a função é côncava para cima em todo o seu domínio. Não há pontos de inflexão.
Passo 7
Vamos analisar os limites da função quando
tende ao infinito e ao menos infinito:
- Quando
:
- Quando
:
Isso mostra que a função cresce indefinidamente em ambas as direções.
Passo 8
Finalmente, vamos esboçar o gráfico da função com base nas informações que obtivemos:
- É uma parábola com concavidade para cima.
- O vértice está em
. - Não intercepta o eixo
. - A função é decrescente antes do vértice e crescente depois dele.
- Vai para
quando vai para .
Resposta
Fizemos um estudo completo da função
. Determinamos que seu domínio é todos os números reais, não possui zeros reais, tem um vértice em
que é um ponto de mínimo. A função é decrescente para
e crescente para
, além de ser côncava para cima em todo o domínio. Seu gráfico é uma parábola que não intercepta o eixo
e se abre para cima.
Exercícios relacionados
Faça o estudo completo das seguintes funções:
Faça o estudo completo das seguintes funções:
Nos exercícios de 1 a 6 , ache
e
.
Se a curva
tiver
como equação vetorial, ache o cosseno do ângulo entre os vetores
e
.