Explique por que não se pode usar a substituição para determinar o limite, calcule o limite algebricamente lim x -2 x^2-4x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre limites! A questão pede para explicar por que não dá pra usar a substituição direta para achar o limite de quando se aproxima de , e depois calcular esse limite de forma algébrica. Vamos precisar mexer com polinômios e entender um pouco sobre como funcionam os limites.

Passo 2

Primeiro, por que não podemos simplesmente substituir (-2)^2 - 4-2 + 2 = 4 - 40 = 00 na expressão ? Vamos tentar:
Aí já pintou o problema! Quando substituímos, acabamos com uma indeterminação , que não nos dá uma resposta clara. Isso significa que a substituição direta não funciona aqui e precisamos achar uma outra maneira de calcular o limite.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de forma algébrica. O truque aqui é fatorar o numerador e ver se conseguimos simplificar a expressão. Observamos que:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Então, a expressão original fica:
x^2-4x+2 = (x - 2)(x + 2)x + 2
Podemos cancelar o termo (x - 2)cancel(x + 2)cancelx + 2 = x - 2 no numerador e denominador (desde que limx -2 (x - 2) = -2 - 2 = -4 ):
Agora, a expressão simplificada é , e podemos calcular o limite substituindo por :

Resposta

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Encontre as equações da reta tangente à curva x = t^2, y = t^3 que passam pelo ponto (4,8)