Para a curva dada por r(t) = < 1/3 t^3, 1/2 t^2, t >, determine
(a) o vetor tangente unitário
(b) o vetor normal unitário e
© a curvatura.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por um vetor posição . O objetivo é encontrar:
(a) o vetor tangente unitário,
(b) o vetor normal unitário, e
© a curvatura dessa curva.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e normas. Vamos precisar calcular a derivada de r(t), a norma dessa derivada, e outras derivadas secundárias. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade, que é a derivada de r(t) em relação a t. A derivada de cada componente da função vetorial é:

Passo 3

Agora, para encontrar o vetor tangente unitário T(t), precisamos normalizar o vetor velocidade. Ou seja, dividimos o vetor velocidade pela sua norma (magnitude).
Primeiro, calculamos a norma de :
Então, o vetor tangente unitário é:

Passo 4

Para achar o vetor normal unitário N(t), precisamos derivar o vetor tangente unitário T(t) em relação a t e, em seguida, normalizar esse resultado.
Primeiro, calculamos a derivada de T(t):
Essa derivada envolve aplicar a regra do quociente e será um pouco trabalhosa, mas essencial para encontrar a direção em que a curva está mudando.

Passo 5

Após encontrar , normalizamos esse vetor para obter o vetor normal unitário:
Isso nos dá a direção principal da curvatura da curva naquele ponto.

Passo 6

Finalmente, para encontrar a curvatura kappa(t), usamos a fórmula que relaciona a derivada do vetor tangente com a curvatura:
Essa expressão nos dá uma medida de quão rápido a curva está mudando de direção naquele ponto específico.

Resposta

(a) O vetor tangente unitário é:
(b) O vetor normal unitário é obtido derivando T(t) e normalizando:
© A curvatura da curva é:

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