Para a curva dada por
, determine
(a) o vetor tangente unitário
(b) o vetor normal unitário e
© a curvatura.
(a) o vetor tangente unitário
(b) o vetor normal unitário e
© a curvatura.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por um vetor posição
. O objetivo é encontrar:
(a) o vetor tangente unitário,
(b) o vetor normal unitário, e
© a curvatura dessa curva.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e normas. Vamos precisar calcular a derivada de
, a norma dessa derivada, e outras derivadas secundárias. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade, que é a derivada de
em relação a
. A derivada de cada componente da função vetorial é:
Passo 3
Agora, para encontrar o vetor tangente unitário
, precisamos normalizar o vetor velocidade. Ou seja, dividimos o vetor velocidade pela sua norma (magnitude).
Primeiro, calculamos a norma de
:
Então, o vetor tangente unitário é:
Passo 4
Para achar o vetor normal unitário
, precisamos derivar o vetor tangente unitário
em relação a
e, em seguida, normalizar esse resultado.
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Essa derivada envolve aplicar a regra do quociente e será um pouco trabalhosa, mas essencial para encontrar a direção em que a curva está mudando.
Passo 5
Após encontrar
, normalizamos esse vetor para obter o vetor normal unitário:
Isso nos dá a direção principal da curvatura da curva naquele ponto.
Passo 6
Finalmente, para encontrar a curvatura
, usamos a fórmula que relaciona a derivada do vetor tangente com a curvatura:
Essa expressão nos dá uma medida de quão rápido a curva está mudando de direção naquele ponto específico.
Resposta
(a) O vetor tangente unitário é:
(b) O vetor normal unitário é obtido derivando
e normalizando:
© A curvatura da curva é:
Exercícios relacionados
Seja
.
(a) Determine a derivada direcional de no ponto
e na direção do vetor
ii.
(a) Determine a derivada direcional de
ii.
A hélice
intercepta a curva
no ponto
. Determine o ângulo de intersecção dessas curvas.
Determine uma equação do círculo osculador da curva
na origem. Faça o gráfico da curva e do círculo osculador.
Em cada uma das afirmações coloque V se a afirmação for verdadeira ou F se a afirmação for falsa e em todos os casos justifique a sua escolha.
© ( ) .
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