Para a curva dada por , determine
(a) o vetor tangente unitário
(b) o vetor normal unitário e
© a curvatura.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por um vetor posição . O objetivo é encontrar:
(a) o vetor tangente unitário,
(b) o vetor normal unitário, e
© a curvatura dessa curva.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e normas. Vamos precisar calcular a derivada de , a norma dessa derivada, e outras derivadas secundárias. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade, que é a derivada de em relação a . A derivada de cada componente da função vetorial é:

Passo 3

Agora, para encontrar o vetor tangente unitário , precisamos normalizar o vetor velocidade. Ou seja, dividimos o vetor velocidade pela sua norma (magnitude).
Primeiro, calculamos a norma de :
Então, o vetor tangente unitário é:

Passo 4

Para achar o vetor normal unitário , precisamos derivar o vetor tangente unitário em relação a e, em seguida, normalizar esse resultado.
Primeiro, calculamos a derivada de :
Essa derivada envolve aplicar a regra do quociente e será um pouco trabalhosa, mas essencial para encontrar a direção em que a curva está mudando.

Passo 5

Após encontrar , normalizamos esse vetor para obter o vetor normal unitário:
Isso nos dá a direção principal da curvatura da curva naquele ponto.

Passo 6

Finalmente, para encontrar a curvatura , usamos a fórmula que relaciona a derivada do vetor tangente com a curvatura:
Essa expressão nos dá uma medida de quão rápido a curva está mudando de direção naquele ponto específico.

Resposta

(a) O vetor tangente unitário é:
(b) O vetor normal unitário é obtido derivando e normalizando:
© A curvatura da curva é:

Exercícios relacionados

Seja .
(a) Determine a derivada direcional de no ponto e na direção do vetor
ii.
A hélice intercepta a curva no ponto . Determine o ângulo de intersecção dessas curvas.
Determine uma equação do círculo osculador da curva na origem. Faça o gráfico da curva e do círculo osculador.
Em cada uma das afirmações coloque V se a afirmação for verdadeira ou F se a afirmação for falsa e em todos os casos justifique a sua escolha.
© ( ) .