A hélice
intercepta a curva
no ponto
. Determine o ângulo de intersecção dessas curvas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas curvas paramétricas: uma hélice e outra curva qualquer que se cruzam no ponto (1, 0, 0). Nosso objetivo é descobrir o ângulo que essas duas curvas formam quando se interceptam nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre vetores tangentes e como calcular o ângulo entre eles usando o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros que fazem as duas curvas passarem pelo ponto (1, 0, 0). Para a hélice, temos:
Queremos que (1, 0, 0) esteja nessa curva, então:
Isso acontece quando
.
Para a outra curva:
Queremos que (1, 0, 0) esteja aqui também:
Isso também ocorre quando
. Então, ambas as curvas se cruzam no ponto (1, 0, 0) quando
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes das duas curvas nesse ponto. O vetor tangente é a derivada da função vetor em relação ao parâmetro
.
Para a hélice:
Avaliando em
:
Para a outra curva:
Avaliando em
:
Então, os vetores tangentes no ponto de interseção são
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o ângulo entre esses dois vetores. A fórmula para o ângulo
entre dois vetores
e
é:
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Depois, as magnitudes dos vetores:
Então:
Resposta
O ângulo de intersecção entre as curvas é de
graus.