A hélice r1(t) = cos(t) i + sen(t) j + t k intercepta a curva r2(t) = (1+t) i + t^2 j + t^3 k no ponto (1, 0, 0). Determine o ângulo de intersecção dessas curvas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas curvas paramétricas: uma hélice e outra curva qualquer que se cruzam no ponto (1, 0, 0). Nosso objetivo é descobrir o ângulo que essas duas curvas formam quando se interceptam nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre vetores tangentes e como calcular o ângulo entre eles usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros que fazem as duas curvas passarem pelo ponto (1, 0, 0). Para a hélice, temos:
Queremos que (1, 0, 0) esteja nessa curva, então:
Isso acontece quando .
Para a outra curva:
Queremos que (1, 0, 0) esteja aqui também:
Isso também ocorre quando . Então, ambas as curvas se cruzam no ponto (1, 0, 0) quando .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes das duas curvas nesse ponto. O vetor tangente é a derivada da função vetor em relação ao parâmetro .
Para a hélice:
Avaliando em :
Para a outra curva:
Avaliando em :
Então, os vetores tangentes no ponto de interseção são e .

Passo 4

Agora, vamos calcular o ângulo entre esses dois vetores. A fórmula para o ângulo entre dois vetores e é:
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Depois, as magnitudes dos vetores:
Então:

Resposta

O ângulo de intersecção entre as curvas é de graus.

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