Determine uma equação do círculo osculador da curva
na origem. Faça o gráfico da curva e do círculo osculador.
Passo 1
Então, temos que encontrar a equação do círculo osculador da curva
na origem. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas para determinar a curvatura da curva naquele ponto. Vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas da função para encontrar a curvatura e, a partir daí, determinar o raio e o centro do círculo osculador.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas primeiras e segundas da função
.
Derivada primeira:
Derivada segunda:
Passo 3
Agora, avaliamos as derivadas na origem (
):
Passo 4
A curvatura
em um ponto de uma curva
é dada por:
Substituindo os valores na origem:
Passo 5
O raio de curvatura
é o inverso da curvatura:
Passo 6
Para encontrar o centro do círculo osculador, precisamos determinar a direç��o da normal à curva na origem. A normal está na direção do vetor
. Na origem,
, então a direção da normal é
.
Então, o centro do círculo está a uma distância
na direção positiva da normal, já que a curvatura é positiva.
Portanto, as coordenadas do centro
são:
Passo 7
Com o raio
e o centro
, a equação do círculo osculador é dada por:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação do círculo osculador da curva
na origem é:
Gráfico
(Aqui você pode desenhar o gráfico da curva
juntamente com o círculo osculador
.)