Determine uma equação do círculo osculador da curva y = x^4 - x^2 na origem. Faça o gráfico da curva e do círculo osculador.

Passo 1

Então, temos que encontrar a equação do círculo osculador da curva na origem. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas para determinar a curvatura da curva naquele ponto. Vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas da função para encontrar a curvatura e, a partir daí, determinar o raio e o centro do círculo osculador.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas primeiras e segundas da função .
Derivada primeira:
Derivada segunda:

Passo 3

Agora, avaliamos as derivadas na origem ( ):

Passo 4

A curvatura em um ponto de uma curva é dada por:
Substituindo os valores na origem:

Passo 5

O raio de curvatura é o inverso da curvatura:

Passo 6

Para encontrar o centro do círculo osculador, precisamos determinar a direç��o da normal à curva na origem. A normal está na direção do vetor . Na origem, , então a direção da normal é .
Então, o centro do círculo está a uma distância na direção positiva da normal, já que a curvatura é positiva.
Portanto, as coordenadas do centro são:

Passo 7

Com o raio e o centro , a equação do círculo osculador é dada por:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do círculo osculador da curva na origem é:

Gráfico

(Aqui você pode desenhar o gráfico da curva juntamente com o círculo osculador .)

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