Determine uma equação do círculo osculador da curva na origem. Faça o gráfico da curva e do círculo osculador.

Passo 1

Então, temos que encontrar a equação do círculo osculador da curva na origem. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas para determinar a curvatura da curva naquele ponto. Vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas da função para encontrar a curvatura e, a partir daí, determinar o raio e o centro do círculo osculador.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas primeiras e segundas da função .
Derivada primeira:
Derivada segunda:

Passo 3

Agora, avaliamos as derivadas na origem ( ):

Passo 4

A curvatura em um ponto de uma curva é dada por:
Substituindo os valores na origem:

Passo 5

O raio de curvatura é o inverso da curvatura:

Passo 6

Para encontrar o centro do círculo osculador, precisamos determinar a direç��o da normal à curva na origem. A normal está na direção do vetor . Na origem, , então a direção da normal é .
Então, o centro do círculo está a uma distância na direção positiva da normal, já que a curvatura é positiva.
Portanto, as coordenadas do centro são:

Passo 7

Com o raio e o centro , a equação do círculo osculador é dada por:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do círculo osculador da curva na origem é:

Gráfico

(Aqui você pode desenhar o gráfico da curva juntamente com o círculo osculador .)

Exercícios relacionados

Para a curva dada por , determine
(a) o vetor tangente unitário
(b) o vetor normal unitário e
© a curvatura.
Seja .
(a) Determine a derivada direcional de no ponto e na direção do vetor
ii.
Em cada uma das afirmações coloque V se a afirmação for verdadeira ou F se a afirmação for falsa e em todos os casos justifique a sua escolha.
© ( ) .
Uma partícula começa na origem com velocidade inicial . Sua aceleração é a . Determine sua função posição.