Determine uma equação do círculo osculador da curva
na origem. Faça o gráfico da curva e do círculo osculador.
Passo 1
Então, temos que encontrar a equação do círculo osculador da curva
na origem. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas para determinar a curvatura da curva naquele ponto. Vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas da função para encontrar a curvatura e, a partir daí, determinar o raio e o centro do círculo osculador.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas primeiras e segundas da função
.
Derivada primeira:
Derivada segunda:
Passo 3
Agora, avaliamos as derivadas na origem (
):
Passo 4
A curvatura
em um ponto de uma curva
é dada por:
Substituindo os valores na origem:
Passo 5
O raio de curvatura
é o inverso da curvatura:
Passo 6
Para encontrar o centro do círculo osculador, precisamos determinar a direç��o da normal à curva na origem. A normal está na direção do vetor
. Na origem,
, então a direção da normal é
.
Então, o centro do círculo está a uma distância
na direção positiva da normal, já que a curvatura é positiva.
Portanto, as coordenadas do centro
são:
Passo 7
Com o raio
e o centro
, a equação do círculo osculador é dada por:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação do círculo osculador da curva
na origem é:
Gráfico
(Aqui você pode desenhar o gráfico da curva
juntamente com o círculo osculador
.)
Exercícios relacionados
Para a curva dada por
, determine
(a) o vetor tangente unitário
(b) o vetor normal unitário e
© a curvatura.
(a) o vetor tangente unitário
(b) o vetor normal unitário e
© a curvatura.
Seja
.
(a) Determine a derivada direcional de no ponto
e na direção do vetor
ii.
(a) Determine a derivada direcional de
ii.
Em cada uma das afirmações coloque V se a afirmação for verdadeira ou F se a afirmação for falsa e em todos os casos justifique a sua escolha.
© ( ) .
© ( )
Uma partícula começa na origem com velocidade inicial
. Sua aceleração é a
. Determine sua função posição.