Seja
.
(a) Determine a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
ii.
(a) Determine a derivada direcional de
ii.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Isso envolve cálculo de derivadas parciais, gradiente e normalização de vetores. Vamos precisar entender como calcular o gradiente da função e como usar esse gradiente para achar a derivada direcional na direção do vetor dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
Simplificando:
A derivada parcial de
em relação a
é mais simples:
Então, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
e
:
Primeira componente do gradiente:
Segunda componente do gradiente:
Então, em
:
Passo 4
Agora, precisamos normalizar o vetor direção
, ou seja,
. A normalização faz com que o vetor tenha comprimento 1, o que é necessário para calcular a derivada direcional.
O comprimento (norma) de
é:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 5
A derivada direcional de
em
na direção de
é o produto escalar do gradiente em
com o vetor unitário
:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.