Seja f(x, y) = (x + y) / (1 + x^2).
(a) Determine a derivada direcional de f no ponto P = (1, -2) e na direção do vetor
ii. -i + 4j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Isso envolve cálculo de derivadas parciais, gradiente e normalização de vetores. Vamos precisar entender como calcular o gradiente da função e como usar esse gradiente para achar a derivada direcional na direção do vetor dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
Simplificando:
A derivada parcial de em relação a é mais simples:
Então, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo e :
Primeira componente do gradiente:
Segunda componente do gradiente:
Então, em :

Passo 4

Agora, precisamos normalizar o vetor direção , ou seja, . A normalização faz com que o vetor tenha comprimento 1, o que é necessário para calcular a derivada direcional.
O comprimento (norma) de é:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

A derivada direcional de em na direção de é o produto escalar do gradiente em com o vetor unitário :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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