Seja .
(a) Determine a derivada direcional de no ponto e na direção do vetor
ii.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Isso envolve cálculo de derivadas parciais, gradiente e normalização de vetores. Vamos precisar entender como calcular o gradiente da função e como usar esse gradiente para achar a derivada direcional na direção do vetor dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
Simplificando:
A derivada parcial de em relação a é mais simples:
Então, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo e :
Primeira componente do gradiente:
Segunda componente do gradiente:
Então, em :

Passo 4

Agora, precisamos normalizar o vetor direção , ou seja, . A normalização faz com que o vetor tenha comprimento 1, o que é necessário para calcular a derivada direcional.
O comprimento (norma) de é:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

A derivada direcional de em na direção de é o produto escalar do gradiente em com o vetor unitário :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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Em cada uma das afirmações coloque V se a afirmação for verdadeira ou F se a afirmação for falsa e em todos os casos justifique a sua escolha.
(a) ( ) .
Para a curva dada por , determine
(a) o vetor tangente unitário
(b) o vetor normal unitário e
© a curvatura.
Determine uma equação do círculo osculador da curva na origem. Faça o gráfico da curva e do círculo osculador.