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Seja a região limitada abaixo pelo cone , acima pelo plano . Monte as integrais triplas em coordenadas esféricas que dão o volume de , usando as ordens de integração a seguir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para montar as integrais triplas em coordenadas esféricas que dão o volume da região , que é limitada abaixo pelo cone e acima pelo plano . Para isso, vamos usar as coordenadas esféricas e a ordem de integração .

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . O cone pode ser reescrito como em coordenadas cilíndricas, onde . Isso significa que o cone é uma superfície que sobe a partir da origem formando um ângulo de 45 graus com o eixo . O plano é simplesmente uma superfície plana horizontal que corta o cone.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por:
  • : a distância do ponto até a origem.
  • : o ângulo polar, que mede a inclinação do ponto em relação ao eixo .
  • : o ângulo azimutal, que gira ao redor do eixo .
A relação entre as coordenadas esféricas e cartesianas é dada por:

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração para , e :
  1. Ângulo azimutal : Como não há restrição em torno do eixo , varia de a .
  2. Ângulo polar : O cone em coordenadas esféricas se traduz como , ou seja, . Isso significa que . Como a região está acima do cone até o plano , varia de até .
  3. Raio : O plano em coordenadas esféricas é , então . O raio começa do cone ( , ou seja, pode começar de ) até .

Passo 5

Agora que temos os limites de integração, podemos montar a integral tripla em coordenadas esféricas. Lembrando que o elemento de volume em coordenadas esféricas é .

Resposta

A integral tripla que representa o volume da região é:

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