Encontre a matriz Jacobiana da função
, definida por
, no ponto
.
Passo 1
Então, a gente tem uma função
que depende de três variáveis:
,
e
. Ela é definida por
. A questão é pedir para a gente encontrar a matriz Jacobiana dessa função no ponto específico
. Basicamente, vamos trabalhar com derivadas parciais aqui para montar essa matriz, que nos mostra como a função muda em relação a cada uma das variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz Jacobiana. Para uma função que tem várias entradas e saídas, a Jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais das componentes da função em relação a cada uma das variáveis. No nosso caso, como a função
tem duas componentes e três variáveis, a Jacobiana será uma matriz 2x3.
Passo 3
Vamos identificar as componentes da função
:
- A primeira componente é
. - A segunda componente é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de cada componente em relação a cada variável.
Para
:
-
-
-
(já que não depende de )
Para
:
-
-
(já que não depende de ) -
Passo 5
Com essas derivadas parciais, podemos montar a matriz Jacobiana
:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 6
Agora, queremos a matriz Jacobiana no ponto específico
. Isso significa que substituímos
,
e
por
,
e
nas derivadas que encontramos.
Resposta
A matriz Jacobiana de
no ponto
é:
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Seja
uma função, dada por
. Encontre a direção em que a derivada direcional no ponto
é zero.
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, definida por
No ponto
, encontre a direção de maior crescimento da temperatura e a direção de maior decréscimo da temperatura.
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são ortogonais em todo ponto de interseção e, além disso, faça um esboço das superfícies e da curva de interseção.
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, dada por
, tem um ponto em comum com a superfície
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