Encontre a matriz Jacobiana da função f, definida por f(x, y, z) = (x^2 + y^3, x + sen(z)), no ponto (x0, y0, z0).

Passo 1

Então, a gente tem uma função f que depende de três variáveis: x, y e z. Ela é definida por . A questão é pedir para a gente encontrar a matriz Jacobiana dessa função no ponto específico . Basicamente, vamos trabalhar com derivadas parciais aqui para montar essa matriz, que nos mostra como a função muda em relação a cada uma das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz Jacobiana. Para uma função que tem várias entradas e saídas, a Jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais das componentes da função em relação a cada uma das variáveis. No nosso caso, como a função f tem duas componentes e três variáveis, a Jacobiana será uma matriz 2x3.

Passo 3

Vamos identificar as componentes da função f:
  • A primeira componente é .
  • A segunda componente é .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de cada componente em relação a cada variável.
Para :
  • (já que não depende de z)
Para :
  • (já que não depende de y)

Passo 5

Com essas derivadas parciais, podemos montar a matriz Jacobiana :
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 6

Agora, queremos a matriz Jacobiana no ponto específico . Isso significa que substituímos x, y e z por x_0, y0 e z0 nas derivadas que encontramos.

Resposta

A matriz Jacobiana de f no ponto é:

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