(a) O que é uma curva lisa?
(b) Como achar o vetor tangente de uma curva lisa em um ponto? Como achar a reta tangente? Como determinar o versor tangente?
(b) Como achar o vetor tangente de uma curva lisa em um ponto? Como achar a reta tangente? Como determinar o versor tangente?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! O exercício tem duas partes:
a) O que é uma curva lisa?
b) Como achar o vetor tangente de uma curva lisa em um ponto? Como achar a reta tangente? Como determinar o versor tangente?
Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e cálculo diferencial, especialmente envolvendo derivadas e vetores. Bora resolver passo a passo!
Passo 2
a) O que é uma curva lisa?
Uma curva lisa é uma curva que é suave, ou seja, que não tem “quebras” ou “cantinhos”. Matemáticamente, isso significa que a curva tem derivadas contínuas em todos os pontos, o que garante que você pode desenhá-la sem levantar o lápis do papel. Em termos mais técnicos, uma curva parametrizada por uma função
é lisa se sua derivada
existe e é contínua para todo
no intervalo considerado.
Passo 3
b) Como achar o vetor tangente de uma curva lisa em um ponto?
Para encontrar o vetor tangente de uma curva lisa em um ponto específico, seguimos estes passos:
-
Parametrização da Curva: Primeiro, precisamos ter a curva expressa por uma função vetorial
. -
Derivada da Função Vetorial: Calculamos a derivada de
em relação a , que nos dá . -
Avaliação no Ponto Desejado: Substituímos o valor de
correspondente ao ponto onde queremos o vetor tangente na derivada .
Esse vetor resultante
é o vetor tangente à curva no ponto escolhido.
Passo 4
Como achar a reta tangente?
Após encontrar o vetor tangente, podemos determinar a reta tangente à curva no ponto específico. Veja como:
-
Ponto de Tangência: Identifique o ponto
na curva onde queremos a reta tangente. -
Vetor Tangente: Já temos o vetor tangente
no ponto . -
Equação da Reta: Usamos a forma paramétrica da reta passando por
e na direção do vetor tangente: Ou, se preferir na forma cartesiana, calculamos o coeficiente angulare usamos a equação:
Passo 5
Como determinar o versor tangente?
O versor tangente é um vetor unitário na direção do vetor tangente. Para encontrá-lo, fazemos o seguinte:
-
Vetor Tangente: Já temos
. -
Módulo do Vetor: Calculamos o comprimento (módulo) do vetor tangente:
-
Normalização: Dividimos cada componente do vetor tangente pelo seu módulo para obter o versor tangente
:
Agora,
é um vetor unitário que indica a direção da reta tangente à curva no ponto considerado.
Resposta
Resumindo:
a) Uma curva lisa é uma curva suave, sem quebras ou cantos, com derivadas contínuas em todos os pontos.
b) Para encontrar o vetor tangente, derivamos a função vetorial que representa a curva e avaliamos no ponto desejado. A reta tangente é então construída usando esse vetor tangente e o ponto de tangência. Por fim, o versor tangente é obtido normalizando o vetor tangente, ou seja, dividindo-o pelo seu módulo para obter um vetor unitário na direção da reta tangente.
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a
a
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(b) Qual a altura máxima que o disco atinge?
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Resolva os seguintes limites justificando cada passagem:
;
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