(a) O que é uma curva lisa?
(b) Como achar o vetor tangente de uma curva lisa em um ponto? Como achar a reta tangente? Como determinar o versor tangente?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! O exercício tem duas partes:
a) O que é uma curva lisa?
b) Como achar o vetor tangente de uma curva lisa em um ponto? Como achar a reta tangente? Como determinar o versor tangente?
Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e cálculo diferencial, especialmente envolvendo derivadas e vetores. Bora resolver passo a passo!

Passo 2

a) O que é uma curva lisa?

Uma curva lisa é uma curva que é suave, ou seja, que não tem “quebras” ou “cantinhos”. Matemáticamente, isso significa que a curva tem derivadas contínuas em todos os pontos, o que garante que você pode desenhá-la sem levantar o lápis do papel. Em termos mais técnicos, uma curva parametrizada por uma função é lisa se sua derivada existe e é contínua para todo no intervalo considerado.

Passo 3

b) Como achar o vetor tangente de uma curva lisa em um ponto?

Para encontrar o vetor tangente de uma curva lisa em um ponto específico, seguimos estes passos:
  1. Parametrização da Curva: Primeiro, precisamos ter a curva expressa por uma função vetorial .
  2. Derivada da Função Vetorial: Calculamos a derivada de em relação a , que nos dá .
  3. Avaliação no Ponto Desejado: Substituímos o valor de correspondente ao ponto onde queremos o vetor tangente na derivada .
Esse vetor resultante é o vetor tangente à curva no ponto escolhido.

Passo 4

Como achar a reta tangente?

Após encontrar o vetor tangente, podemos determinar a reta tangente à curva no ponto específico. Veja como:
  1. Ponto de Tangência: Identifique o ponto na curva onde queremos a reta tangente.
  2. Vetor Tangente: Já temos o vetor tangente no ponto .
  3. Equação da Reta: Usamos a forma paramétrica da reta passando por e na direção do vetor tangente:
    Ou, se preferir na forma cartesiana, calculamos o coeficiente angular e usamos a equação:

Passo 5

Como determinar o versor tangente?

O versor tangente é um vetor unitário na direção do vetor tangente. Para encontrá-lo, fazemos o seguinte:
  1. Vetor Tangente: Já temos .
  2. Módulo do Vetor: Calculamos o comprimento (módulo) do vetor tangente:
  3. Normalização: Dividimos cada componente do vetor tangente pelo seu módulo para obter o versor tangente :
Agora, é um vetor unitário que indica a direção da reta tangente à curva no ponto considerado.

Resposta

Resumindo:
a) Uma curva lisa é uma curva suave, sem quebras ou cantos, com derivadas contínuas em todos os pontos.
b) Para encontrar o vetor tangente, derivamos a função vetorial que representa a curva e avaliamos no ponto desejado. A reta tangente é então construída usando esse vetor tangente e o ponto de tangência. Por fim, o versor tangente é obtido normalizando o vetor tangente, ou seja, dividindo-o pelo seu módulo para obter um vetor unitário na direção da reta tangente.

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