Use o Teorema de Green para calcular
(Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.
C é o triângulo de
a
a
a
(Orientação)
C é o triângulo de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o Teorema de Green, que é uma ferramenta poderosa para calcular integrais de linha usando integrais duplas. A questão pede para calcular a integral de linha da função vetorial
ao longo do contorno
, que é um triângulo formado pelos pontos
,
,
e de volta a
. Antes de aplicar o Teorema de Green, precisamos verificar a orientação da curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A fórmula é:
Onde
e
é a região interior à curva
. A orientação positiva de
significa que ela é percorrida no sentido anti-horário.
Passo 3
Agora, vamos verificar a orientação da curva
. Olhando os pontos
,
,
e de volta a
, percebemos que a curva está sendo percorrida no sentido horário. Para aplicar o Teorema de Green corretamente, a curva precisa estar na orientação positiva (anti-horária). Se estiver no sentido oposto, o resultado da integral terá o sinal invertido.
Passo 4
Como a orientação da curva
é horário, vamos inverter a orientação para ficar no sentido anti-horário. Isso significa que a integral original vai ser o negativo da integral que calcularemos com o Teorema de Green.
Passo 5
Agora, vamos identificar
e
da nossa função vetorial
:
Precisamos calcular
e
:
Passo 6
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Simplificando:
Passo 7
Agora, precisamos calcular a integral dupla
sobre a região
, que é o triângulo com vértices em
,
e
. Vamos descrever
em termos de
e
:
Para
variando de 0 a 2, e para cada
,
varia de 0 até a linha que conecta
a
. A equação dessa linha é:
Então, os limites de integração são:
Passo 8
Vamos calcular a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Simplificando:
Passo 9
Lembrando que invertemos a orientação da curva, precisamos aplicar o sinal negativo:
Resposta
A integral de linha
vale
.