Use o Teorema de Green para calcular (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.
C é o triângulo de a a a (Orientação)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o **Teorema de Green**, que é uma ferramenta poderosa para calcular integrais de linha usando integrais duplas. A questão pede para calcular a integral de linha da função vetorial ao longo do contorno , que é um triângulo formado pelos pontos , , e de volta a . Antes de aplicar o Teorema de Green, precisamos verificar a orientação da curva .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o **Teorema de Green**. Ele relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A fórmula é:
Onde e é a região interior à curva . A orientação positiva de significa que ela é percorrida no sentido anti-horário.
Passo 3
Agora, vamos verificar a orientação da curva . Olhando os pontos , , e de volta a , percebemos que a curva está sendo percorrida no sentido horário. Para aplicar o Teorema de Green corretamente, a curva precisa estar na orientação positiva (anti-horária). Se estiver no sentido oposto, o resultado da integral terá o sinal invertido.
Passo 4
Como a orientação da curva é horário, vamos inverter a orientação para ficar no sentido anti-horário. Isso significa que a integral original vai ser o negativo da integral que calcularemos com o Teorema de Green.
Passo 5
Agora, vamos identificar e da nossa função vetorial :
Precisamos calcular e :
Passo 6
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Simplificando:
Passo 7
Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região , que é o triângulo com vértices em , e . Vamos descrever em termos de e :
Para variando de 0 a 2, e para cada , varia de 0 até a linha que conecta a . A equação dessa linha é:
Então, os limites de integração são:
Passo 8
Vamos calcular a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Simplificando:
Passo 9
Lembrando que invertemos a orientação da curva, precisamos aplicar o sinal negativo:
Resposta
A integral de linha vale .
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(a) Onde está o disco 2 segundos depois?
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(c) Onde o disco atinge o chão?
Dê exemplos de sequências e , de tal modo que: .
(a) O que é uma curva lisa?
(b) Como achar o vetor tangente de uma curva lisa em um ponto? Como achar a reta tangente? Como determinar o versor tangente?
Resolva os seguintes limites justificando cada passagem:
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