Use o Teorema de Green para calcular integralC F cdot d r (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.
F(x, y)=lang<= y cos x-x y sin x, x y+x cos xrang<=
C é o triângulo de (0,0) a (0,4) a (2,0) a (0,0) (Orientação)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o Teorema de Green, que é uma ferramenta poderosa para calcular integrais de linha usando integrais duplas. A questão pede para calcular a integral de linha da função vetorial ao longo do contorno , que é um triângulo formado pelos pontos , , e de volta a . Antes de aplicar o Teorema de Green, precisamos verificar a orientação da curva .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A fórmula é:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy
Onde e é a região interior à curva . A orientação positiva de significa que ela é percorrida no sentido anti-horário.

Passo 3

Agora, vamos verificar a orientação da curva . Olhando os pontos , , e de volta a , percebemos que a curva está sendo percorrida no sentido horário. Para aplicar o Teorema de Green corretamente, a curva precisa estar na orientação positiva (anti-horária). Se estiver no sentido oposto, o resultado da integral terá o sinal invertido.

Passo 4

Como a orientação da curva é horário, vamos inverter a orientação para ficar no sentido anti-horário. Isso significa que a integral original vai ser o negativo da integral que calcularemos com o Teorema de Green.

Passo 5

Agora, vamos identificar P(x, y) = y cos x - x y sin x Q(x, y) = x y + x cos x e partial Qpartial x = y + cos x - x sin x partial Ppartial y = cos x - x sin x da nossa função vetorial :
Precisamos calcular e :

Passo 6

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy = integral duplaD ( y + cos x - x sin x - (cos x - x sin x) ) dx,dy
Simplificando:
integral duplaD y, dx,dy

Passo 7

Agora, precisamos calcular a integral dupla y = -2x + 4 sobre a região 0 <= x <= 2 0 <= y <= -2x + 4 , que é o triângulo com vértices em , e . Vamos descrever em termos de e :
Para variando de 0 a 2, e para cada , varia de 0 até a linha que conecta a . A equação dessa linha é:
Então, os limites de integração são:

Passo 8

Vamos calcular a integral dupla:
integral0^2 integral0^-2x + 4 y, dy, dx
Primeiro, integramos em relação a integral0^-2x + 4 y, dy = [ y^22 ]0^-2x + 4 = (-2x + 4)^22 :
integral0^2 (-2x + 4)^22, dx = 12 integral0^2 (4x^2 - 16x + 16), dx
Agora, integramos em relação a 12 [ 4x^33 - 8x^2 + 16x ]0^2 = 12 ( 323 - 32 + 32 ) = 12 cdot 323 = 163 :
Simplificando:

Passo 9

Lembrando que invertemos a orientação da curva, precisamos aplicar o sinal negativo:
ointC F cdot dr = -163

Resposta

A integral de linha vale .

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