Use o Teorema de Green para calcular (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema. C é o triângulo de a a a (Orientação)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o **Teorema de Green**, que é uma ferramenta poderosa para calcular integrais de linha usando integrais duplas. A questão pede para calcular a integral de linha da função vetorial ao longo do contorno , que é um triângulo formado pelos pontos , , e de volta a . Antes de aplicar o Teorema de Green, precisamos verificar a orientação da curva .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o **Teorema de Green**. Ele relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A fórmula é: Onde e é a região interior à curva . A orientação positiva de significa que ela é percorrida no sentido anti-horário.

Passo 3

Agora, vamos verificar a orientação da curva . Olhando os pontos , , e de volta a , percebemos que a curva está sendo percorrida no sentido horário. Para aplicar o Teorema de Green corretamente, a curva precisa estar na orientação positiva (anti-horária). Se estiver no sentido oposto, o resultado da integral terá o sinal invertido.

Passo 4

Como a orientação da curva é horário, vamos inverter a orientação para ficar no sentido anti-horário. Isso significa que a integral original vai ser o negativo da integral que calcularemos com o Teorema de Green.

Passo 5

Agora, vamos identificar e da nossa função vetorial : Precisamos calcular e :

Passo 6

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green: Simplificando:

Passo 7

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região , que é o triângulo com vértices em , e . Vamos descrever em termos de e : Para variando de 0 a 2, e para cada , varia de 0 até a linha que conecta a . A equação dessa linha é: Então, os limites de integração são:

Passo 8

Vamos calcular a integral dupla: Primeiro, integramos em relação a : Agora, integramos em relação a : Simplificando:

Passo 9

Lembrando que invertemos a orientação da curva, precisamos aplicar o sinal negativo:

Resposta

A integral de linha vale .

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