Uma curva é tal que y'(x) = 3 x^2 + 1 e essa curva passa pelo ponto 1,2. Encontre a equação de y(x).

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos pedindo e quais conceitos precisamos usar para resolvê-lo. Nos é dada a derivada da função y(x), que é , e sabemos que a curva dessa função passa pelo ponto . Nosso objetivo é encontrar a equação completa de y(x). Para isso, vamos precisar integrar a derivada para obter a função original e depois usar o ponto dado para determinar a constante de integração.

Passo 2

O primeiro passo para encontrar y(x) é integrar a derivada . A integração é o processo inverso da derivação, ou seja, se sabemos a derivada de uma função, integrando-a conseguimos a função original mais uma constante.
Então, calculando a integral:

Passo 3

Vamos integrar termo a termo:
  1. Para :
  1. Para 1:
Então, somando as integrais:
onde C é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 4

Agora temos a expressão geral de y(x):
Para encontrar o valor de C, usamos o fato de que a curva passa pelo ponto . Isso significa que quando x = 1, .
Substituindo esses valores na equação:

Passo 5

Resolvendo para C:

Resposta

A equação da função y(x) é:

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