Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem no ponto
.
h)
h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
no ponto
. Vou te explicar tudo passo a passo, sem complicação. Vamos usar conceitos de derivadas parciais que estudamos em cálculo multivariável, como a regra da cadeia para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,
e
. A derivada parcial em relação a
significa que tratamos
como uma constante, e vice-versa.
Passo 3
Vamos calcular
, a derivada de
em relação a
:
Usando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, a derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia novamente:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem:
,
e
.
Primeiro,
é a derivada de
em relação a
:
Usando a regra da cadeia:
Passo 7
Agora,
é a derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra do produto e da cadeia:
Passo 8
Por último, vamos encontrar
, a derivada de
em relação a
:
Usando a regra da cadeia:
Passo 9
Vamos agora avaliar as derivadas de segunda ordem no ponto
:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função
no ponto
são: