Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem no ponto 1,4.
h) f(x, y) = cos(x y) - sen(x y) + 10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função no ponto . Vou te explicar tudo passo a passo, sem complicação. Vamos usar conceitos de derivadas parciais que estudamos em cálculo multivariável, como a regra da cadeia para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, e . A derivada parcial em relação a significa que tratamos como uma constante, e vice-versa.

Passo 3

Vamos calcular , a derivada de em relação a :
Usando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos calcular , a derivada de em relação a :
Aplicando a regra da cadeia novamente:

Passo 5

Agora que temos e , vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Para :
Para :

Passo 6

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem: , e .
Primeiro, é a derivada de em relação a :
Usando a regra da cadeia:

Passo 7

Agora, é a derivada de em relação a :
Aplicando a regra do produto e da cadeia:

Passo 8

Por último, vamos encontrar , a derivada de em relação a :
Usando a regra da cadeia:

Passo 9

Vamos agora avaliar as derivadas de segunda ordem no ponto :
Para :
Para :
Para :

Resposta

As derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função no ponto são:

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