A função f: [-1, 5] -> R definida por f(x) = cos(3x) é integrável em [-1,5] ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é: a função definida no intervalo é integrável nesse intervalo? Para responder, vamos precisar entender o que significa uma função ser integrável e revisar um pouco sobre funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, o que é ser integrável? Basicamente, uma função é integrável em um intervalo se conseguimos calcular a área sob sua curva nesse intervalo. Mais tecnicamente, usamos a integral definida para isso. Mas, nem todas as funções são integráveis; precisamos que elas tenham certas propriedades.

Passo 3

Uma das propriedades importantes é a continuidade. Uma função contínua em um intervalo fechado é sempre integrável nesse intervalo. Continuar significa que não há “saltos” ou “buracos” na curva da função dentro do intervalo considerado.

Passo 4

Agora, vamos analisar a função . Sabemos que a função cosseno é contínua em todo o seu domínio, que é todos os números reais . Multiplicar por 3 dentro do cosseno não afeta a continuidade; apenas altera a frequência da oscilação da função.

Passo 5

Como é contínua em todo o seu domínio e, em particular, no intervalo , podemos concluir que ela é integrável nesse intervalo, já que toda função contínua em um intervalo fechado é integrável nesse intervalo.

Resposta

Sim, a função é integrável no intervalo porque ela é contínua em todo esse intervalo, e funções contínuas em intervalos fechados são sempre integráveis.

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