A função
definida por
é integrável em
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é: a função
definida no intervalo
é integrável nesse intervalo? Para responder, vamos precisar entender o que significa uma função ser integrável e revisar um pouco sobre funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, o que é ser integrável? Basicamente, uma função é integrável em um intervalo se conseguimos calcular a área sob sua curva nesse intervalo. Mais tecnicamente, usamos a integral definida para isso. Mas, nem todas as funções são integráveis; precisamos que elas tenham certas propriedades.
Passo 3
Uma das propriedades importantes é a continuidade. Uma função contínua em um intervalo fechado
é sempre integrável nesse intervalo. Continuar significa que não há “saltos” ou “buracos” na curva da função dentro do intervalo considerado.
Passo 4
Agora, vamos analisar a função
. Sabemos que a função cosseno é contínua em todo o seu domínio, que é todos os números reais
. Multiplicar
por 3 dentro do cosseno não afeta a continuidade; apenas altera a frequência da oscilação da função.
Passo 5
Como
é contínua em todo o seu domínio e, em particular, no intervalo
, podemos concluir que ela é integrável nesse intervalo, já que toda função contínua em um intervalo fechado é integrável nesse intervalo.
Resposta
Sim, a função
é integrável no intervalo
porque ela é contínua em todo esse intervalo, e funções contínuas em intervalos fechados são sempre integráveis.