Use a mudança de variável e para calcular a integral dupla
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla usando a mudança de variável e . Basicamente, vamos transformar essa integral complicada em uma mais simples usando essas novas variáveis. Para isso, precisamos entender como mudar as variáveis na integral e ajustar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a mudança de variável. Definimos e . Nosso objetivo é expressar e em termos de e . A partir de , podemos escrever . Substituindo isso na segunda equação , temos . Assim, e, consequentemente, .
Passo 3
Agora, precisamos calcular o jacobiano dessa transformação, que é o determinante da matriz das derivadas parciais de e em relação a e . Calculando:
O jacobiano é então:
Passo 4
Com o jacobiano, agora reescrevemos a integral em termos de integral duplaD x y^3 , dx , dy = integral duplaD' x y^3 cdot |J| , du , dv e x y^3 = raizvu cdot (raizu v)^3 = raizvu cdot u^3/2 v^3/2 = u cdot v^2 :
integral duplaD' u v^2 cdot 12 u , du , dv = 12 integral duplaD' v^2 , du , dv
Substituindo e :
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos determinar os novos limites de integração 12 integral0^4 v^2 ( integral0^infty du ) dv em termos de 12 integral0^4 v^2 cdot 1 , dv = 12 [ v^33 ]0^4 = 12 cdot 643 = 323 e . A condição dada é , que no sistema de coordenadas se torna . Supondo que a região seja onde varia de 0 a 4 e varia de 0 a algum valor, para simplificar, vamos integrar de 0 a 4 e de 0 a :
No entanto, isso sugere que a integral diverge, o que pode indicar que precisamos de mais informações sobre a região . Se assumirmos que varia de 0 a algum valor finito, por exemplo, de 0 a 1, então a integral se torna: