Use a mudança de variável u=yx e v=x y para calcular a integral dupla
integral duplaD x y^3 d x d y
x y=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla usando a mudança de variável e . Basicamente, vamos transformar essa integral complicada em uma mais simples usando essas novas variáveis. Para isso, precisamos entender como mudar as variáveis na integral e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a mudança de variável. Definimos e . Nosso objetivo é expressar e em termos de e . A partir de , podemos escrever . Substituindo isso na segunda equação , temos . Assim, e, consequentemente, .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o jacobiano dessa transformação, que é o determinante da matriz das derivadas parciais de partial xpartial u = -raizv2 u^3/2, partial xpartial v = 12 raizu v e partial ypartial u = raizv2 raizu, partial ypartial v = raizu2 raizv em relação a J = | cc -raizv2 u^3/2 & 12 raizu v raizv2 raizu & raizu2 raizv | = 12 u e . Calculando:
O jacobiano é então:

Passo 4

Com o jacobiano, agora reescrevemos a integral em termos de integral duplaD x y^3 , dx , dy = integral duplaD' x y^3 cdot |J| , du , dv e x y^3 = raizvu cdot (raizu v)^3 = raizvu cdot u^3/2 v^3/2 = u cdot v^2 :
integral duplaD' u v^2 cdot 12 u , du , dv = 12 integral duplaD' v^2 , du , dv
Substituindo e :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos determinar os novos limites de integração 12 integral0^4 v^2 ( integral0^infty du ) dv em termos de 12 integral0^4 v^2 cdot 1 , dv = 12 [ v^33 ]0^4 = 12 cdot 643 = 323 e . A condição dada é , que no sistema de coordenadas se torna . Supondo que a região seja onde varia de 0 a 4 e varia de 0 a algum valor, para simplificar, vamos integrar de 0 a 4 e de 0 a :
No entanto, isso sugere que a integral diverge, o que pode indicar que precisamos de mais informações sobre a região . Se assumirmos que varia de 0 a algum valor finito, por exemplo, de 0 a 1, então a integral se torna:

Resposta

A integral dupla vale .

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