Verifique se a função f definida por
f(x) = { x^2, se -1 <= x < 1; 2, se 1 <= x <= 3 }
é integrável em [-1, 3].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função definida por partes é integrável no intervalo . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de integrais e funções integráveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser integrável e analisar o comportamento de em cada parte do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser integrável no sentido de Riemann. Basicamente, uma função é integrável em um intervalo se conseguimos calcular a área sob sua curva nesse intervalo de forma precisa. Para que isso seja possível, a função deve ser limitada e ter um número finito de descontinuidades no intervalo.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função :
Ela é definida por duas partes: de a (não incluindo ) e de a . Precisamos verificar se essa função atende aos critérios de integrabilidade.

Passo 4

Primeiro, vamos ver se a função é limitada no intervalo . Para , varia de a . Para , . Portanto, a função não cresce indefinidamente e está limitada, já que seus valores ficam entre e .

Passo 5

Em seguida, vamos analisar as descontinuidades da função. Uma descontinuidade acontece quando a função “salta” de um valor para outro sem passar pelos valores intermediários. Olhando para , vemos que na junção dos intervalos, em , muda de para . Isso é uma descontinuidade do tipo “salto”.

Passo 6

Agora, precisamos verificar se existem infinitas descontinuidades. No caso de , há apenas uma descontinuidade em . Isso significa que a função tem um número finito de descontinuidades no intervalo .

Passo 7

Como a função é limitada e tem apenas uma descontinuidade no intervalo , ela satisfaz os critérios para ser integrável no sentido de Riemann. Funções limitadas com um número finito de descontinuidades em um intervalo fechado são sempre integráveis.

Resposta

Sim, a função definida por partes é integrável no intervalo .

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