Verifique se a função
definida por
é integrável em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função
definida por partes é integrável no intervalo
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de integrais e funções integráveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser integrável e analisar o comportamento de
em cada parte do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser integrável no sentido de Riemann. Basicamente, uma função é integrável em um intervalo se conseguimos calcular a área sob sua curva nesse intervalo de forma precisa. Para que isso seja possível, a função deve ser limitada e ter um número finito de descontinuidades no intervalo.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função
:
Ela é definida por duas partes:
de
a
(não incluindo
) e
de
a
. Precisamos verificar se essa função atende aos critérios de integrabilidade.
Passo 4
Primeiro, vamos ver se a função é limitada no intervalo
. Para
,
varia de
a
. Para
,
. Portanto, a função não cresce indefinidamente e está limitada, já que seus valores ficam entre
e
.
Passo 5
Em seguida, vamos analisar as descontinuidades da função. Uma descontinuidade acontece quando a função “salta” de um valor para outro sem passar pelos valores intermediários. Olhando para
, vemos que na junção dos intervalos, em
,
muda de
para
. Isso é uma descontinuidade do tipo “salto”.
Passo 6
Agora, precisamos verificar se existem infinitas descontinuidades. No caso de
, há apenas uma descontinuidade em
. Isso significa que a função tem um número finito de descontinuidades no intervalo
.
Passo 7
Como a função
é limitada e tem apenas uma descontinuidade no intervalo
, ela satisfaz os critérios para ser integrável no sentido de Riemann. Funções limitadas com um número finito de descontinuidades em um intervalo fechado são sempre integráveis.
Resposta
Sim, a função
definida por partes é integrável no intervalo
.