Qual é a curva do tipo que melhor se ajusta aos pontos da tabela abaixo?
-1
0
1
2
3
4
16,8
3,9
-5
-8
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a curva do tipo que melhor se ajusta aos pontos da tabela fornecida. Isso envolve ajuste de curvas usando regressão quadrática. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes , e que minimizam a diferença entre os valores reais de e os valores preditos pela nossa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos. Temos seis pares de valores :
Passo 3
Para fazer o ajuste quadrático, precisamos montar um sistema de equações baseado na minimização dos erros quadráticos. A equação geral é:
Nossa meta é encontrar os valores de , e que melhor se ajustam aos pontos dados.
Passo 4
Vamos utilizar o método dos mínimos quadrados. Isso envolve calcular algumas somas necessárias:
Passo 5
Agora, montamos o sistema de equações para encontrar , e :
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Para simplificar, podemos usar métodos como substituição ou matriz. Aqui, usaremos a regra de Cramer para encontrar D = 6 & 9 & 31 9 & 31 & 99 31 & 99 & 355 , Da = -13,6 & 9 & 31 -104,0 & 31 & 99 -250,9 & 99 & 355 = 822,0 e Db = 6 & -13,6 & 31 9 & -104,0 & 99 31 & -250,9 & 355 = 369,6 .
Calculamos o determinante principal Dc = 6 & 9 & -13,6 9 & 31 & -104,0 31 & 99 & -250,9 = -310,2 :
Após calcular, encontramos . Isso resulta em .
Calculamos , e substituindo as colunas correspondentes pelas constantes:
Passo 7
Agora, encontramos os coeficientes usando a = DaD = 822,0-310,2 approx -2,65 , b = DbD = 369,6-310,2 approx -1,19 e c = DcD = -310,2-310,2 = 1 :