Qual é a curva do tipo y=a+b x+c x^2 que melhor se ajusta aos pontos da tabela abaixo?
x -1 0 1 2 3 4
y 16,8 3,9 -5 -9,8 -10,5 -8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a curva do tipo que melhor se ajusta aos pontos da tabela fornecida. Isso envolve ajuste de curvas usando regressão quadrática. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes , e que minimizam a diferença entre os valores reais de e os valores preditos pela nossa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos. Temos seis pares de valores c|cccccc x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 hline y & 16,8 & 3,9 & -5 & -9,8 & -10,5 & -8 :

Passo 3

Para fazer o ajuste quadrático, precisamos montar um sistema de equações baseado na minimização dos erros quadráticos. A equação geral é:
y = a + b x + c x^2
Nossa meta é encontrar os valores de , e que melhor se ajustam aos pontos dados.

Passo 4

Vamos utilizar o método dos mínimos quadrados. Isso envolve calcular algumas somas necessárias:
S &= Número de pontos = 6 sum x &= (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 9 sum y &= 16,8 + 3,9 + (-5) + (-9,8) + (-10,5) + (-8) = -13,6 sum x^2 &= (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 0 + 1 + 4 + 9 + 16 = 31 sum x^3 &= (-1)^3 + 0^3 + 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = -1 + 0 + 1 + 8 + 27 + 64 = 99 sum x^4 &= (-1)^4 + 0^4 + 1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4 = 1 + 0 + 1 + 16 + 81 + 256 = 355 sum x y &= (-1)(16,8) + 0(3,9) + 1(-5) + 2(-9,8) + 3(-10,5) + 4(-8) = -16,8 + 0 -5 -19,6 -31,5 -32 = -104,0 sum x^2 y &= (-1)^2(16,8) + 0^2(3,9) + 1^2(-5) + 2^2(-9,8) + 3^2(-10,5) + 4^2(-8) = 16,8 + 0 -5 -39,2 -94,5 -128 = -250,9 ú

Passo 5

Agora, montamos o sistema de equações para encontrar a S + b sum x + c sum x^2 = sum y a sum x + b sum x^2 + c sum x^3 = sum x y a sum x^2 + b sum x^3 + c sum x^4 = sum x^2 y , 6a + 9b + 31c = -13,6 9a + 31b + 99c = -104,0 31a + 99b + 355c = -250,9 e :
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Para simplificar, podemos usar métodos como substituição ou matriz. Aqui, usaremos a regra de Cramer para encontrar D = 6 & 9 & 31 9 & 31 & 99 31 & 99 & 355 , Da = -13,6 & 9 & 31 -104,0 & 31 & 99 -250,9 & 99 & 355 = 822,0 e Db = 6 & -13,6 & 31 9 & -104,0 & 99 31 & -250,9 & 355 = 369,6 .
Calculamos o determinante principal Dc = 6 & 9 & -13,6 9 & 31 & -104,0 31 & 99 & -250,9 = -310,2 :
Após calcular, encontramos . Isso resulta em .
Calculamos , e substituindo as colunas correspondentes pelas constantes:

Passo 7

Agora, encontramos os coeficientes usando a = DaD = 822,0-310,2 approx -2,65 , b = DbD = 369,6-310,2 approx -1,19 e c = DcD = -310,2-310,2 = 1 :

Resposta

A curva que melhor se ajusta aos pontos é .

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