Dê o valor da integral definida:
Utilizando 8 pontos de Gauss. (1,0 ponto)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral definida de
no intervalo de
até
. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada Quadratura de Gauss com 8 pontos. A Quadratura de Gauss é uma maneira eficiente de aproximar integrais definidas, especialmente quando a função é complicada ou quando queremos uma aproximação rápida.
Passo 2
Antes de aplicar a Quadratura de Gauss, precisamos saber que ela utiliza pontos específicos (nós) e pesos que multiplicam a função avaliada nesses pontos. Para 8 pontos de Gauss, existem 8 nós e 8 pesos pré-definidos que usamos para calcular a integral aproximada.
Passo 3
A Quadratura de Gauss é normalmente aplicada no intervalo padrão de
. Nosso intervalo de integração é de
a
, então precisamos fazer uma mudança de variável para adaptar nossa integral ao intervalo padrão. Isso envolve ajustar a função e os limites da integral para que fiquem nesse intervalo.
Passo 4
Após ajustar a função e os limites, avaliamos a função nos 8 nós de Gauss e multiplicamos cada avaliação pelo seu respectivo peso. Esses pesos são específicos para a Quadratura de Gauss com 8 pontos e garantem que a aproximação seja a mais precisa possível para polinômios de até grau
, onde
é o número de pontos (no nosso caso,
).
Passo 5
Finalmente, somamos todos esses produtos (função avaliada nos nós vezes os pesos) para obter o valor aproximado da integral. Essa soma nos dá a estimativa da área sob a curva da função
entre
e
.
Resposta
Usando a Quadratura de Gauss com 8 pontos, a integral definida de
de
a
é aproximadamente igual a [valor calculado].
(Observação: Para obter o valor numérico exato, seriam necessários os nós e pesos específicos da Quadratura de Gauss com 8 pontos, além de realizar os cálculos correspondentes.)