(a) A curva
é chamada curva ponta de bala. Encontre uma equação da reta tangente a essa curva no ponto (1.1).
(b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela.
(b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por
, conhecida como curva “ponta de bala”. A parte (a) pede para encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto (1,1). Para isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar a inclinação da tangente e depois a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da curva. Como estamos no ponto
e
é positivo,
. Então, a função fica
.
Passo 3
Agora, para achar a reta tangente, precisamos da derivada de
em relação a
, que vai nos dar a inclinação da tangente nesse ponto. Vamos chamar a função de
.
Passo 4
Vamos usar a regra do quociente para derivar
. A regra do quociente diz que se
, então
. Aqui,
e
.
Passo 5
Calculando as derivadas:
-
- Para
, usando a regra da cadeia,
Passo 6
Agora, aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a inclinação da tangente no ponto
:
Então, a inclinação
da reta tangente é 2.
Passo 8
Sabendo que a reta tangente passa pelo ponto (1,1) e tem inclinação 2, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 9
Agora, para a parte (b), vamos ilustrar a curva e a reta tangente no mesmo gráfico. Você pode usar ferramentas como o GeoGebra ou até mesmo plotar no Python usando bibliotecas como Matplotlib.
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto (1,1) é
.
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Encontre
e
.
Encontre a derivada da função.
Encontre a derivada da função.
Encontre a derivada da função.