(a) A curva é chamada curva ponta de bala. Encontre uma equação da reta tangente a essa curva no ponto (1.1).
(b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por , conhecida como curva “ponta de bala”. A parte (a) pede para encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto (1,1). Para isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar a inclinação da tangente e depois a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da curva. Como estamos no ponto e é positivo, . Então, a função fica .

Passo 3

Agora, para achar a reta tangente, precisamos da derivada de em relação a , que vai nos dar a inclinação da tangente nesse ponto. Vamos chamar a função de .

Passo 4

Vamos usar a regra do quociente para derivar . A regra do quociente diz que se , então . Aqui, e .

Passo 5

Calculando as derivadas:
  • Para , usando a regra da cadeia,

Passo 6

Agora, aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a inclinação da tangente no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é 2.

Passo 8

Sabendo que a reta tangente passa pelo ponto (1,1) e tem inclinação 2, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 9

Agora, para a parte (b), vamos ilustrar a curva e a reta tangente no mesmo gráfico. Você pode usar ferramentas como o GeoGebra ou até mesmo plotar no Python usando bibliotecas como Matplotlib.

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto (1,1) é .

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Encontre e .
Encontre a derivada da função.
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