A curva
tem alguma reta tangente horizontal? Em caso afirmativo, onde? Justifique sua resposta!
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a curva
tem alguma reta tangente que seja horizontal. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangentes. Então, vamos precisar calcular a derivada dessa função para ver onde a inclinação é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma reta tangente horizontal significa que a inclinação dessa reta é zero. E a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva é dada pela derivada da função nesse ponto. Então, nosso objetivo é encontrar onde a derivada de
é igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Podemos reescrever
como
, então a função fica
. Usando a regra do poder para derivadas, que diz que se
, então
, vamos aplicar isso:
Passo 4
Agora que temos a derivada
, queremos saber onde essa derivada é igual a zero para encontrar retas tangentes horizontais:
Passo 5
Vamos resolver a equação
. Para que uma fração seja igual a zero, o numerador deve ser zero, mas aqui o numerador é 1, que nunca é zero. Além disso,
está no denominador, então a expressão nunca atinge zero para valores reais de
.
Passo 6
Portanto, não existe nenhum valor de
que faça
. Isso significa que a derivada nunca é zero e, portanto, a curva
não tem nenhuma reta tangente horizontal.
Resposta
Não, a curva
não possui nenhuma reta tangente horizontal.
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