A curva tem alguma reta tangente horizontal? Em caso afirmativo, onde? Justifique sua resposta!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a curva tem alguma reta tangente que seja horizontal. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangentes. Então, vamos precisar calcular a derivada dessa função para ver onde a inclinação é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma reta tangente horizontal significa que a inclinação dessa reta é zero. E a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva é dada pela derivada da função nesse ponto. Então, nosso objetivo é encontrar onde a derivada de é igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Podemos reescrever como , então a função fica . Usando a regra do poder para derivadas, que diz que se , então , vamos aplicar isso:

Passo 4

Agora que temos a derivada , queremos saber onde essa derivada é igual a zero para encontrar retas tangentes horizontais:

Passo 5

Vamos resolver a equação . Para que uma fração seja igual a zero, o numerador deve ser zero, mas aqui o numerador é 1, que nunca é zero. Além disso, está no denominador, então a expressão nunca atinge zero para valores reais de .

Passo 6

Portanto, não existe nenhum valor de que faça . Isso significa que a derivada nunca é zero e, portanto, a curva não tem nenhuma reta tangente horizontal.

Resposta

Não, a curva não possui nenhuma reta tangente horizontal.

Exercícios relacionados

Derive as funções:
Derive as funções:
Derive as funções
Derive as funções