Derive as funções:
y = (x^2 + 1)^(2x - 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos encontrar a derivada dela, ou seja, . Esse tipo de função envolve potências onde tanto a base quanto o expoente dependem de , então vamos usar diferenciação logarítmica para facilitar o processo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da equação. Isso ajuda a “trazer” os expoentes para fora, facilitando a derivação. Ficamos com:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos simplificar o lado direito:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:
No lado direito, temos um produto, então vamos aplicar a regra do produto:

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  1. Derivada de é .
  2. Derivada de usa a regra da cadeia:
Substituindo de volta na expressão:

Passo 6

Agora, temos:
Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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