Derive as funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisamos encontrar a derivada dela, ou seja,
. Esse tipo de função envolve potências onde tanto a base quanto o expoente dependem de
, então vamos usar diferenciação logarítmica para facilitar o processo.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da equação. Isso ajuda a “trazer” os expoentes para fora, facilitando a derivação. Ficamos com:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos simplificar o lado direito:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:
No lado direito, temos um produto, então vamos aplicar a regra do produto:
Passo 5
Vamos calcular cada parte:
-
Derivada de
é . -
Derivada de
usa a regra da cadeia:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 6
Agora, temos:
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função é: