Derive as funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos encontrar a derivada dela, ou seja, . Esse tipo de função envolve potências onde tanto a base quanto o expoente dependem de , então vamos usar **diferenciação logarítmica** para facilitar o processo.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da equação. Isso ajuda a "trazer" os expoentes para fora, facilitando a derivação. Ficamos com:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos simplificar o lado direito:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:
No lado direito, temos um produto, então vamos aplicar a **regra do produto**:
Passo 5
Vamos calcular cada parte:
1. Derivada de é .
2. Derivada de usa a regra da cadeia:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 6
Agora, temos:
Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :
Passo 7
Lembrando que , substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função é:
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