Derive as funções:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer. A função que temos é e queremos encontrar a sua derivada em relação a . Para isso, vamos usar algumas regras de derivação, como a regra da cadeia e propriedades de funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função. Sabemos que , então podemos reescrever a função da seguinte maneira:
Agora, a função ficou mais simples: .

Passo 3

Para derivar , vamos usar o logaritmo natural para facilitar. Vamos tirar o logaritmo dos dois lados da equação:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Lembre-se que e que vamos usar a regra do produto para derivar :

Passo 5

Agora, vamos isolar multiplicando ambos os lados por :
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é .

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A curva tem alguma reta tangente horizontal? Em caso afirmativo, onde? Justifique sua resposta!