A curva tem alguma tangente horizontal? Se sim, em qual ponto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a curva e queremos descobrir se ela tem alguma tangente horizontal. Pra isso, vamos trabalhar com derivadas, que é uma ferramenta do cálculo que nos ajuda a encontrar as inclinações das tangentes nas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma tangente horizontal ocorre quando a inclinação da tangente é zero. A inclinação da tangente em qualquer ponto da curva é dada pela derivada da função nesse ponto. Então, vamos começar calculando a derivada de em relação a .

Passo 3

Calculando a derivada, temos:
Então, a derivada da função é .

Passo 4

Para encontrar onde a tangente é horizontal, vamos igualar a derivada a zero:
Podemos fatorar:
Isso dá as soluções ou .

Passo 5

Agora, vamos encontrar as coordenadas correspondentes a esses valores de :
  • Para :
Então, o ponto é .
  • Para :
Então, o ponto é .
  • Para :
Então, o ponto é .

Resposta

Sim, a curva tem tangentes horizontais nos pontos , e .

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