Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto onde . Para isso, vamos usar os conceitos de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente, e o ponto da função onde vamos tangenciar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de para saber qual é o ponto no gráfico onde a reta vai tocar. Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de , que representa a inclinação da reta tangente no ponto . Vamos derivar .
Podemos reescrever a função para facilitar a derivação:
Derivando termo a termo:

Passo 4

Com a derivada em mãos, vamos calcular para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Agora que temos o ponto de tangência e a inclinação , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a equação para deixá-la na forma :
Somando em ambos os lados:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa é:

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Determine a equaçâo da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa