Uma hipérbole rho tem foco F(8,9) e diretriz d: x+y+8=0. Se sua excentricidade é e=2, então a equação dessa hipérbole e seu centro são respectivamente:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma hipérbole com um foco em , uma diretriz dada pela equação e uma excentricidade . Nosso objetivo é encontrar a equação dessa hipérbole e o centro dela. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre hipérboles, distância entre pontos e retas, e transformação de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de hipérbole: é o conjunto de pontos Distância(P, F)Distância(P, d) = e no plano tal que a razão entre a distância de a um foco e a distância de à diretriz é igual à excentricidade . Matematicamente, isso fica assim:
ââ

Passo 3

Vamos calcular a distância de um ponto Distância(P, F) = raiz(x - 8)^2 + (y - 9)^2 ao foco . A fórmula da distância entre dois pontos é:
â

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância de Distância(P, d) = |x + y + 8|raiz1^2 + 1^2 = |x + y + 8|raiz2 à diretriz . A fórmula da distância de um ponto a uma reta é:
â

Passo 5

Aplicando a definição da hipérbole, temos:
raiz(x - 8)^2 + (y - 9)^2|x + y + 8|raiz2 = 2
Vamos simplificar essa equação multiplicando ambos os lados por raiz(x - 8)^2 + (y - 9)^2 = 2 cdot |x + y + 8|raiz2 :
raiz(x - 8)^2 + (y - 9)^2 = raiz2 cdot |x + y + 8|
Simplificando mais:

Passo 6

Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
(x - 8)^2 + (y - 9)^2 = 2(x + y + 8)^2
Expandindo os termos:
(x^2 - 16x + 64) + (y^2 - 18y + 81) = 2(x^2 + 2xy + y^2 + 16x + 16y + 64)
x^2 - 16x + 64 + y^2 - 18y + 81 = 2x^2 + 4xy + 2y^2 + 32x + 32y + 128

Passo 7

Vamos levar todos os termos para o lado esquerdo da equação:
x^2 + y^2 - 16x - 18y + 145 - 2x^2 - 4xy - 2y^2 - 32x - 32y - 128 = 0
Simplificando:
-x^2 - y^2 - 48x - 50y + 17 - 4xy = 0
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
x^2 + y^2 + 48x + 50y - 17 + 4xy = 0

Passo 8

Observamos que a equação resultante tem um termo tan(2theta) = BA - C , o que indica que a hipérbole está rotacionada em relação aos eixos coordenados. Para simplificar, vamos realizar uma rotação de coordenadas para eliminar o termo cruzado tan(2theta) = 41 - 1 = indefinido .
A fórmula para eliminar o termo é:
Onde:
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
Calculando :
Isso significa que , então .

Passo 9

Agora, vamos realizar a rotação das coordenadas em x = Xcostheta - Ysintheta . As transformações são:
y = Xsintheta + Ycostheta
x = raiz22(X - Y)
Com y = raiz22(X + Y) , . Substituindo:

Passo 10

Substituindo (raiz22(X - Y))^2 + (raiz22(X + Y))^2 + 48(raiz22(X - Y)) + 50(raiz22(X + Y)) - 17 + 4(raiz22(X - Y))(raiz22(X + Y)) = 0 e na equação da hipérbole:
Simplificando e rearranjando os termos, podemos obter a equação da hipérbole na nova coordenada . Após simplificar, identificamos os termos que correspondem à forma padrão da hipérbole, o que nos permite determinar o centro.

Resposta

A equação da hipérbole é
(x)^2 - (y)^2 + 48x + 50y - 17 + 4xy = 0
e o centro da hipérbole está no ponto .

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