Uma hipérbole
tem foco
e diretriz
. Se sua excentricidade é
, então a equação dessa hipérbole e seu centro são respectivamente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma hipérbole com um foco em
, uma diretriz dada pela equação
e uma excentricidade
. Nosso objetivo é encontrar a equação dessa hipérbole e o centro dela. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre hipérboles, distância entre pontos e retas, e transformação de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de hipérbole: é o conjunto de pontos
no plano tal que a razão entre a distância de
a um foco
e a distância de
à diretriz
é igual à excentricidade
. Matematicamente, isso fica assim:
Passo 3
Vamos calcular a distância de um ponto
ao foco
. A fórmula da distância entre dois pontos é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a distância de
à diretriz
. A fórmula da distância de um ponto a uma reta
é:
Passo 5
Aplicando a definição da hipérbole, temos:
Vamos simplificar essa equação multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando mais:
Passo 6
Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Expandindo os termos:
Passo 7
Vamos levar todos os termos para o lado esquerdo da equação:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
Passo 8
Observamos que a equação resultante tem um termo
, o que indica que a hipérbole está rotacionada em relação aos eixos coordenados. Para simplificar, vamos realizar uma rotação de coordenadas para eliminar o termo cruzado
.
A fórmula para eliminar o termo
é:
Onde:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(coeficiente de )
Calculando
:
Isso significa que
, então
.
Passo 9
Agora, vamos realizar a rotação das coordenadas em
. As transformações são:
Com
,
. Substituindo:
Passo 10
Substituindo
e
na equação da hipérbole:
Simplificando e rearranjando os termos, podemos obter a equação da hipérbole na nova coordenada
. Após simplificar, identificamos os termos que correspondem à forma padrão da hipérbole, o que nos permite determinar o centro.
Resposta
A equação da hipérbole é
e o centro da hipérbole está no ponto
.
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