Curvas cônicas são dadas por um par de equações paramétricas no plano cartesiano. Determine a equação cartesiana reduzida e identifique-as nos seguintes casos:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre curvas cônicas usando equações paramétricas. O enunciado nos dá duas fórmulas para
e
em função de um parâmetro
. Nosso objetivo é transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana reduzida e identificar que tipo de curva estamos lidando. Para isso, vamos precisar usar trigonometria e álgebra básica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas que temos:
Aqui,
e representam as funções cosseno e seno, respectivamente. Nosso objetivo é eliminar o parâmetro
e encontrar uma relação entre
e
.
Passo 3
Vamos começar isolando
na primeira equação:
Passo 4
Agora, isolamos na segunda equação:
Passo 5
Sabemos da identidade trigonométrica que:
Vamos substituir
e pelas expressões que encontramos:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a equação:
Essa é a equação cartesiana reduzida da curva.
Resposta
A equação cartesiana reduzida é
Essa é a equação de uma elipse.
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Mostre que se o retângulo base de uma hipérbole é um quadrado então sua excentricidade é igual a
.
Se
, calcule o valor do determinante de
.
Resolva as equações: