Curvas cônicas são dadas por um par de equações paramétricas no plano cartesiano. Determine a equação cartesiana reduzida e identifique-as nos seguintes casos:
(b) lx(theta)=-3+5 cos (theta) y(theta)=5+4 sen(theta), 0 <= theta<2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre curvas cônicas usando equações paramétricas. O enunciado nos dá duas fórmulas para e em função de um parâmetro . Nosso objetivo é transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana reduzida e identificar que tipo de curva estamos lidando. Para isso, vamos precisar usar trigonometria e álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas que temos:
Aqui, x(theta) = -3 + 5 cos(theta) y(theta) = 5 + 4 sen(theta) e representam as funções cosseno e seno, respectivamente. Nosso objetivo é eliminar o parâmetro e encontrar uma relação entre e .

Passo 3

Vamos começar isolando x = -3 + 5 cos(theta) Rightarrow 5 cos(theta) = x + 3 Rightarrow cos(theta) = x + 35 na primeira equação:

Passo 4

Agora, isolamos na segunda equação:

Passo 5

Sabemos da identidade trigonométrica que:
Vamos substituir cos^2(theta) + sen^2(theta) = 1 e pelas expressões que encontramos:
( x + 35 )^2 + ( y - 54 )^2 = 1

Passo 6

Agora, vamos simplificar a equação:
(x + 3)^225 + (y - 5)^216 = 1
Essa é a equação cartesiana reduzida da curva.

Resposta

A equação cartesiana reduzida é
(x + 3)^225 + (y - 5)^216 = 1
Essa é a equação de uma elipse.

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