Mostre que se o retângulo base de uma hipérbole é um quadrado então sua excentricidade é igual a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se a base de um retângulo que forma uma hipérbole é um quadrado, então a excentricidade dessa hipérbole é igual a
. Aqui estamos trabalhando com hipérboles, que fazem parte da matéria de Geometria Analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender a forma da equação da hipérbole, o que é a base do retângulo dela e como calcular a excentricidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação padrão de uma hipérbole horizontal:
Nessa equação,
é a distância do centro até os vértices na direção do eixo
, e
está relacionado à abertura da hipérbole.
Passo 3
A base do retângulo da hipérbole é formada pelos segmentos que correspondem aos valores de
e
. Então, se a base é um retângulo, seus lados são
e
(pois vão de
a
e de
a
).
Passo 4
O enunciado diz que esse retângulo é um quadrado. Isso significa que os lados são iguais:
Então, temos que
é igual a
.
Passo 5
Agora, vamos lembrar como calcular a excentricidade (
) de uma hipérbole. A fórmula para a excentricidade é:
Como já sabemos que
, vamos substituir na fórmula.
Passo 6
Substituindo
na fórmula da excentricidade:
Resposta
A excentricidade da hipérbole é igual a
.
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se desloca de modo que módulo da diferença de sua distância aos pontos
e
é igual a
. A equação cartesiana geral.
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(b)
(b)
Se
, calcule o valor do determinante de
.