Mostre que se o retângulo base de uma hipérbole é um quadrado então sua excentricidade é igual a raiz2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se a base de um retângulo que forma uma hipérbole é um quadrado, então a excentricidade dessa hipérbole é igual a . Aqui estamos trabalhando com hipérboles, que fazem parte da matéria de Geometria Analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender a forma da equação da hipérbole, o que é a base do retângulo dela e como calcular a excentricidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação padrão de uma hipérbole horizontal:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Nessa equação, é a distância do centro até os vértices na direção do eixo , e está relacionado à abertura da hipérbole.

Passo 3

A base do retângulo da hipérbole é formada pelos segmentos que correspondem aos valores de e . Então, se a base é um retângulo, seus lados são e (pois vão de a e de a ).

Passo 4

O enunciado diz que esse retângulo é um quadrado. Isso significa que os lados são iguais:
2a = 2b implies a = b
Então, temos que é igual a .

Passo 5

Agora, vamos lembrar como calcular a excentricidade ( e = raiz1 + b^2a^2 ) de uma hipérbole. A fórmula para a excentricidade é:
Como já sabemos que , vamos substituir na fórmula.

Passo 6

Substituindo e = raiz1 + a^2a^2 = raiz1 + 1 = raiz2 na fórmula da excentricidade:

Resposta

A excentricidade da hipérbole é igual a .

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