Se A=(a i j)3 times 3 tal que a i j=i+j, calcule det A e det A^t.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz de dimensão , onde cada elemento é dado pela soma de seus índices e , ou seja, . Nosso objetivo é calcular o determinante de , , e o determinante da transposta de , .

Passo 2

Primeiro, vamos construir a matriz A = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 usando a fórmula a11 &= 1 + 1 = 2 a12 &= 1 + 2 = 3 a13 &= 1 + 3 = 4 a21 &= 2 + 1 = 3 a22 &= 2 + 2 = 4 a23 &= 2 + 3 = 5 a31 &= 3 + 1 = 4 a32 &= 3 + 2 = 5 a33 &= 3 + 3 = 6 . Como A = 2 & 3 & 4 3 & 4 & 5 4 & 5 & 6 é uma matriz , temos:
Agora, vamos calcular cada elemento:
Portanto, a matriz fica:

Passo 3

Agora precisamos calcular o determinante de det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 , det A = (2)(4)(6) + (3)(5)(4) + (4)(3)(5) - (4)(4)(4) - (2)(5)(5) - (3)(3)(6) . Para matrizes (2)(4)(6) &= 48 (3)(5)(4) &= 60 (4)(3)(5) &= 60 (4)(4)(4) &= 64 (2)(5)(5) &= 50 (3)(3)(6) &= 54 , o determinante pode ser calculado pela regra de Sarrus ou pelo método de co-fatores. Vamos usar a regra de Sarrus:
Substituindo os valores de det A = 48 + 60 + 60 - 64 - 50 - 54 = 168 - 168 = 0 :
Calculando cada termo:
Agora somando e subtraindo:

Passo 4

Precisamos agora calcular o determinante da transposta de det A^t = det A , det A^t = 0 . Uma propriedade importante das matrizes é que o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta, ou seja:
Desde já calculamos , portanto:

Resposta

O determinante da matriz é e o determinante da transposta de é .

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