Curvas cônicas são dadas por um par de equações paramétricas no plano cartesiano. Determine a equação cartesiana reduzida e identifique-as nos seguintes casos:
(f)
e
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um par de equações paramétricas que descrevem uma curva no plano cartesiano. Nosso objetivo é transformar essas equações paramétricas em uma única equação cartesiana reduzida e identificar que tipo de curva cônica estamos lidando. Para isso, vamos precisar usar algumas relações trigonométricas e álgebra básica para eliminar o parâmetro
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas que nos foram dadas:
Nosso objetivo é eliminar o
dessas equações para encontrar uma relação direta entre
e
.
Passo 3
Vamos isolar
e
a partir das equações dadas:
Dividindo ambos os lados das equações pelo coeficiente de
e
, respectivamente, temos:
Passo 4
Lembrando que
e
, podemos expressar
em termos de
e
:
Sabemos também que
. Vamos usar essa identidade para eliminar
.
Passo 5
Substituindo
e
na identidade:
Passo 6
Vamos multiplicar todos os termos por
para eliminar os denominadores:
Reorganizando os termos, temos:
Resposta
A equação cartesiana reduzida da curva é
, e ela representa uma hipérbole.
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(d) .
(d)