Curvas cônicas são dadas por um par de equações paramétricas no plano cartesiano. Determine a equação cartesiana reduzida e identifique-as nos seguintes casos:
(f) lx(theta)=-3+5 tg(theta) y(theta)=2+5 sec (theta), 0 <= theta<2 pi, theta neq pi2 e theta neq

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um par de equações paramétricas que descrevem uma curva no plano cartesiano. Nosso objetivo é transformar essas equações paramétricas em uma única equação cartesiana reduzida e identificar que tipo de curva cônica estamos lidando. Para isso, vamos precisar usar algumas relações trigonométricas e álgebra básica para eliminar o parâmetro .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas que nos foram dadas:
x(theta) = -3 + 5 tan(theta) y(theta) = 2 + 5 sec(theta)
Nosso objetivo é eliminar o dessas equações para encontrar uma relação direta entre e .

Passo 3

Vamos isolar x + 3 = 5 tan(theta) y - 2 = 5 sec(theta) e tan(theta) = x + 35 sec(theta) = y - 25 a partir das equações dadas:
Dividindo ambos os lados das equações pelo coeficiente de e , respectivamente, temos:

Passo 4

Lembrando que sin(theta) = tan(theta) cos(theta) = x + 35 cdot 5y - 2 = x + 3y - 2 e , podemos expressar em termos de e :
Sabemos também que . Vamos usar essa identidade para eliminar .

Passo 5

Substituindo (x + 3y - 2)^2 + (5y - 2)^2 = 1 e (x + 3)^2(y - 2)^2 + 25(y - 2)^2 = 1 na identidade:

Passo 6

Vamos multiplicar todos os termos por (x + 3)^2 + 25 = (y - 2)^2 para eliminar os denominadores:
(y - 2)^2 - (x + 3)^2 = 25
Reorganizando os termos, temos:

Resposta

A equação cartesiana reduzida da curva é , e ela representa uma hipérbole.

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