Determine se a transformação linear dada é ou não injetora, se não for encontre um vetor v não nulo cuja imagem seja zero.
G: R^2 R^2
G(x, y)=(2 x-4 y, 3 x-6 y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a transformação linear definida por é injetora. Se não for, temos que achar um vetor não nulo que, quando aplicamos , dá zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformação linear e injetividade, e vamos precisar entender sobre solução de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser injetora. Uma transformação é injetora se vetores diferentes no espaço de partida sempre resultam em vetores diferentes no espaço de chegada. Em termos matemáticos, é injetora se, sempre que , então .

Passo 3

Para verificar se é injetora, vamos analisar o núcleo (ou kernel) da transformação. O kernel de é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem . Se o único vetor no kernel for o vetor zero, então é injetora. Caso contrário, não é.

Passo 4

Vamos montar o sistema de equações para encontrar o kernel:
2x - 4y = 0 3x - 6y = 0
Precisamos resolver esse sistema para e .

Passo 5

Observando as duas equações:
  1. pode ser simplificada dividindo por 2: .
  2. pode ser simplificada dividindo por 3: .
Percebemos que ambas as equações são iguais após simplificação, o que significa que temos infinitas soluções dependendo de um parâmetro.

Passo 6

Vamos expressar em termos de usando a equação simplificada . Podemos escolher , onde é um número real qualquer. Então, os vetores no kernel são da forma .

Passo 7

Para encontrar um vetor não nulo no kernel, podemos escolher qualquer valor de G(2, 1) = (2 cdot 2 - 4 cdot 1, 3 cdot 2 - 6 cdot 1) = (4 - 4, 6 - 6) = (0, 0) diferente de zero. Por exemplo, se , o vetor é . Vamos verificar:
Deu zero, então está no kernel e é não nulo.

Resposta

A transformação não é injetora. Um vetor não nulo cujo imagem é zero é .

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