Determine se a transformação linear dada é ou não injetora, se não for encontre um vetor
não nulo cuja imagem seja zero.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a transformação linear
definida por
é injetora. Se não for, temos que achar um vetor não nulo que, quando aplicamos
, dá zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformação linear e injetividade, e vamos precisar entender sobre solução de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser injetora. Uma transformação é injetora se vetores diferentes no espaço de partida sempre resultam em vetores diferentes no espaço de chegada. Em termos matemáticos,
é injetora se, sempre que
, então
.
Passo 3
Para verificar se
é injetora, vamos analisar o núcleo (ou kernel) da transformação. O kernel de
é o conjunto de todos os vetores
em
que satisfazem
. Se o único vetor no kernel for o vetor zero, então
é injetora. Caso contrário, não é.
Passo 4
Vamos montar o sistema de equações para encontrar o kernel:
Precisamos resolver esse sistema para
e
.
Passo 5
Observando as duas equações:
-
pode ser simplificada dividindo por 2: . -
pode ser simplificada dividindo por 3: .
Percebemos que ambas as equações são iguais após simplificação, o que significa que temos infinitas soluções dependendo de um parâmetro.
Passo 6
Vamos expressar
em termos de
usando a equação simplificada
. Podemos escolher
, onde
é um número real qualquer. Então, os vetores no kernel são da forma
.
Passo 7
Para encontrar um vetor não nulo no kernel, podemos escolher qualquer valor de
diferente de zero. Por exemplo, se
, o vetor é
. Vamos verificar:
Deu zero, então
está no kernel e é não nulo.
Resposta
A transformação
não é injetora. Um vetor não nulo cujo imagem é zero é
.
Exercícios relacionados
Sejam
a base canônica de
e
a base dada por
e
. Se
, então:
Encontre a matriz de transição .
Encontre a matriz de transição
Sejam
dada por
dada por
dada por
e
dada por
. Determine, se possível:
Uma matriz quadrada A é dita simétrica quando
e antissimétrica quando
. Quais das matrizes abaixo são simétricas? iii.
Curvas cônicas são dadas por um par de equações paramétricas no plano cartesiano. Determine a equação cartesiana reduzida e identifique-as nos seguintes casos:
(f) e
(f)