A equação de uma reta que passa pelos pontos e é:
onde m é a declividade (ou inclinação da reta ou…) e é dada por .
Quando deixamos A fixo e fazemos B se aproximar de A , a reta passa a ser tangente. Isto é, . Encontre a equação da reta tangente à curva: (a) , no ponto em que . (b) , no ponto em que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a equação da reta tangente a duas curvas específicas em pontos determinados. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, principalmente a derivada, que nos dá a inclinação da reta tangente em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a reta tangente à curva no ponto onde .
  1. Encontrar a derivada da função: A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto. Então, vamos derivar em relação a :
  2. Calcular a inclinação no ponto :
  3. Encontrar as coordenadas do ponto de tangência:
    ãé
  4. Escrever a equação da reta tangente usando a fórmula :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a reta tangente à curva no ponto onde .
  1. Encontrar a derivada da função:
  2. Calcular a inclinação no ponto :
  3. Encontrar as coordenadas do ponto de tangência:
    ãé
  4. Escrever a equação da reta tangente usando a fórmula :

Resposta

(a) A equação da reta tangente é .
(b) A equação da reta tangente é .

Exercícios relacionados

Se , então
Mesmo que esta função não seja uma função usual ou conhecida.
Use este resultado para calcular sabendo que, para todo ,
As curvas com equações são chamadas, com c , curvas ponta de bala. (a) Encontre o domínio. (b) O que ocorre quando x se aproxima dos extremos do domínio? © faça um esboço (grosseiro) do gráfico.
d. Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.
iv.
Determine os pontos críticos das seguintes funções: