A equação de uma reta que passa pelos pontos A(xa, ya) e B(xb, yb) é:
y-ya=m(x-xa),
onde m é a declividade (ou inclinação da reta ou…) e é dada por yb-yaxb-xa.
Quando deixamos A fixo e fazemos B se aproximar de A , a reta passa a ser tangente. Isto é, m= lim x xa y-yax-xa. Encontre a equação da reta tangente à curva: (a) y=x^3+x, no ponto em que x=1. (b) y =sen(2 x), no ponto em que x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a equação da reta tangente a duas curvas específicas em pontos determinados. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, principalmente a derivada, que nos dá a inclinação da reta tangente em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a reta tangente à curva y = x^3 + x dydx = 3x^2 + 1 no ponto onde m = dydx|x=1 = 3(1)^2 + 1 = 3 + 1 = 4 .
  1. Encontrar a derivada da função: A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto. Então, vamos derivar y(1) = (1)^3 + 1 = 1 + 1 = 2 Então, o ponto é (1, 2) em relação a y - 2 = 4(x - 1) y = 4x - 4 + 2 y = 4x - 2 :
  2. Calcular a inclinação no ponto :
  3. Encontrar as coordenadas do ponto de tangência:
    ãé
  4. Escrever a equação da reta tangente usando a fórmula :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a reta tangente à curva y = sin(2x) dydx = 2cos(2x) no ponto onde m = dydx|x=0 = 2cos(0) = 2(1) = 2 .
  1. Encontrar a derivada da função:
    y(0) = sin(0) = 0 Então, o ponto é (0, 0)
  2. Calcular a inclinação no ponto y - 0 = 2(x - 0) y = 2x :
  3. Encontrar as coordenadas do ponto de tangência:
    ãé
  4. Escrever a equação da reta tangente usando a fórmula :

Resposta

(a) A equação da reta tangente é .
(b) A equação da reta tangente é .

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