As curvas de nível de uma função potencial
são chamadas de curvas equipotenciais. Considerando
esboce as curvas equipotenciais nas quais
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre curvas equipotenciais de uma função potencial
, que são basicamente linhas onde o valor de
é constante. A função que temos é
e queremos desenhar as curvas onde
e
. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para achar as equações dessas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
e
. Isso quer dizer que vamos substituir
nessas equações e resolver para
e
.
Vamos começar com
:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre
e
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 4
Em seguida, dividimos ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 5
Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Passo 6
Subtraindo 16 de ambos os lados, temos:
Isso significa que a única solução é
e
, ou seja, o ponto (0,0).
Passo 7
Agora, vamos fazer o mesmo para
:
Passo 8
Multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 9
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 10
Subtraindo 16 de ambos os lados, obtemos:
Isso representa um círculo com raio
.
Resposta
As curvas equipotenciais são:
- Para
: apenas o ponto (0,0). - Para
: um círculo com centro na origem e raio .
Exercícios relacionados
Esboce a superfície de nível com os níveis indicados em cada questão.
.
Esboce as curvas de nível para as funções nos níveis indicados.
e
.
Considere a função
. Represente graficamente os valores de
e
para os quais
.
Esboce as curvas de nível para as funções nos níveis indicados.
e
.