Esboce a superfície de nível com os níveis indicados em cada questão.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a superfície de nível para a função quando . Superfície de nível é basicamente um conjunto de pontos onde a função assume um valor constante, nesse caso, zero. Para isso, vamos precisar entender como representar graficamente equações envolvendo , e .

Passo 2

Primeiro, vamos igualar a função ao valor de nível dado:
Agora, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da superfície:

Passo 3

Essa é uma equação bem conhecida na geometria analítica tridimensional. A equação representa um cone duplo. Isso significa que existem dois “cones” conectados pela origem: um se abrindo para cima e outro para baixo ao longo do eixo .

Passo 4

Para visualizar melhor, pense que para cada valor de , o conjunto de pontos forma um círculo no plano com raio . Conforme aumenta ou diminui, o raio do círculo aumenta, formando assim a forma cônica.

Resposta

A superfície de nível para com é um cone duplo centrado na origem, abrindo-se ao longo do eixo .

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Esboce as curvas de nível para as funções nos níveis indicados.
e .
Esboce o domínio natural das funções seguintes como subconjuntos de .
.
As curvas de nível de uma função potencial são chamadas de curvas equipotenciais. Considerando
esboce as curvas equipotenciais nas quais .
Considere a função . Represente graficamente os valores de e para os quais .