Esboce a superfície de nível com os níveis indicados em cada questão.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a superfície de nível para a função
quando
. Superfície de nível é basicamente um conjunto de pontos onde a função assume um valor constante, nesse caso, zero. Para isso, vamos precisar entender como representar graficamente equações envolvendo
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos igualar a função ao valor de nível dado:
Agora, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da superfície:
Passo 3
Essa é uma equação bem conhecida na geometria analítica tridimensional. A equação
representa um cone duplo. Isso significa que existem dois “cones” conectados pela origem: um se abrindo para cima e outro para baixo ao longo do eixo
.
Passo 4
Para visualizar melhor, pense que para cada valor de
, o conjunto de pontos
forma um círculo no plano
com raio
. Conforme
aumenta ou diminui, o raio do círculo aumenta, formando assim a forma cônica.
Resposta
A superfície de nível para
com
é um cone duplo centrado na origem, abrindo-se ao longo do eixo
.
Exercícios relacionados
Esboce as curvas de nível para as funções nos níveis indicados.
e
.
Esboce o domínio natural das funções seguintes como subconjuntos de
.
.
As curvas de nível de uma função potencial
são chamadas de curvas equipotenciais. Considerando
esboce as curvas equipotenciais nas quais
.
Considere a função
. Represente graficamente os valores de
e
para os quais
.