Esboce as curvas de nível para as funções nos níveis indicados.
e
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para desenharmos as curvas de nível da função
para os valores
e
. As curvas de nível são linhas que mostram todos os pontos
onde a função assume um valor constante
. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a função dada em equações de linhas e depois esboçá-las no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Para uma função de duas variáveis como
, uma curva de nível para um valor
é definida por todos os pontos
que satisfazem a equação:
Isso significa que, para cada valor de
, temos uma linha reta diferente no plano.
Passo 3
Vamos começar com
. Substituindo na equação:
Para esboçar essa linha, podemos encontrar dois pontos que satisfaçam a equação. Por exemplo:
- Se
:
Então, temos o ponto
.
- Se
:
Então, temos o ponto
.
Passo 4
Agora, vamos para
. Substituindo na equação:
Vamos encontrar dois pontos para essa linha também:
- Se
:
Então, temos o ponto
.
- Se
:
Então, temos o ponto
.
Passo 5
Com os pontos encontrados, podemos esboçar as duas linhas no plano cartesiano:
- Para
, a linha passa por e . - Para
, a linha passa por e .
Essas linhas são paralelas porque têm o mesmo coeficiente para
e
, indicando que elas não se intersectam.
Resposta
As curvas de nível são linhas retas definidas por
e
. Para
, a linha passa por
e
. Para
, a linha passa por
e
.
Exercícios relacionados
Considere a função
. Represente graficamente os valores de
e
para os quais
.
As curvas de nível de uma função potencial
são chamadas de curvas equipotenciais. Considerando
esboce as curvas equipotenciais nas quais
.
Esboce as curvas de nível para as funções nos níveis indicados.
e
.
Esboce as curvas de nível para as funções nos níveis indicados.
e
.