Curvas paramétricas são fundamentais em diversas áreas, como física, engenharia e design gráfico, por sua capacidade de modelar movimentos e trajetórias complexas. Uma curva particularmente interessante é dada pela expressão paramétrica
r(t) = [e^t * cos(t), e^t * sen(t)]
que define uma trajetória no plano à medida que o parâmetro t varia. Identifique e assinale a alternativa que descreve a trajetória e as características da curva paramétrica vec(r)(t).
Alternativas
A) Espiral logarítmica, expandindo-se infinitamente com o aumento de t.
B) Círculo, com raio e centro constantes.
C) Cicloide, com trajetória periódica e repetitiva.
D) Hipérbole, com ramos que se afastam infinitamente.
E) Parábola, descrevendo uma trajetória simétrica.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma questão sobre curvas paramétricas, que são importantes em áreas como física, engenharia e design gráfico porque elas ajudam a modelar movimentos e trajetórias complexas. No exercício, temos uma curva definida por:
Precisamos identificar qual das alternativas descreve corretamente essa trajetória e suas características.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação paramétrica que foi dada. A curva está definida por duas funções:
Aqui, é a função exponencial, e e são as funções trigonométricas cosseno e seno, respectivamente.

Passo 3

Vamos reescrever a curva em uma forma mais reconhecível. Podemos fatorar :
Isso mostra que a curva é basicamente um círculo ( ) que está sendo “esticado” ou “expandindo” exponencialmente pelo fator conforme aumenta.

Passo 4

Agora, vamos relacionar isso com os tipos de curvas paramétricas:
  • Espiral Logarítmica: Tem a forma , onde é a distância do ponto à origem e é uma constante. Ela se caracteriza por expandir-se (ou contrair-se) de forma exponencial enquanto gira ao redor do ponto central.
  • Círculo, Cicloide, Hipérbole e Parábola têm características bem diferentes e não envolvem esse crescimento exponencial aliado à rotação.

Passo 5

Portanto, a curva dada se comporta como uma Espiral Logarítmica, que se expande infinitamente conforme aumenta.

Resposta

A alternativa correta é a A) Espiral logarítmica, expandindo-se infinitamente com o aumento de t.

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