Determine se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a sequência
é convergente ou divergente. Esse problema está dentro do conteúdo de sequências e limites. Para resolver, vamos calcular o limite dessa expressão conforme
vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a sequência ser convergente ou divergente. Uma sequência é convergente se ela se aproxima de um número específico quando
fica muito grande. Se não se aproxima de nenhum número, dizemos que é divergente.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito. Ou seja, queremos saber:
Passo 4
Sabemos que o logaritmo natural,
, cresce mais devagar que qualquer potência positiva de
. Isso significa que, à medida que
aumenta, o valor de
cresce, mas bem mais lentamente comparado a
.
Passo 5
Para calcular esse limite de forma mais rigorosa, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é aplicada quando temos uma indeterminação do tipo
. Veja:
Resposta
A sequência
é convergente e o seu limite é
.