Determine se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes.
{ln(n)/n} de n=1 até +infinito

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a sequência {ln(n)/n} de n=1 até +infinito é convergente ou divergente. Esse problema está dentro do conteúdo de sequências e limites. Para resolver, vamos calcular o limite dessa expressão conforme n vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a sequência ser convergente ou divergente. Uma sequência é convergente se ela se aproxima de um número específico quando n fica muito grande. Se não se aproxima de nenhum número, dizemos que é divergente.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando n tende ao infinito. Ou seja, queremos saber:

Passo 4

Sabemos que o logaritmo natural, , cresce mais devagar que qualquer potência positiva de n. Isso significa que, à medida que n aumenta, o valor de cresce, mas bem mais lentamente comparado a n.

Passo 5

Para calcular esse limite de forma mais rigorosa, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é aplicada quando temos uma indeterminação do tipo . Veja:

Resposta

A sequência {ln(n)/n} de n=1 até +infinito é convergente e o seu limite é 0.

Exercícios relacionados