integral arctan (4 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da função vão ser e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Isso significa que precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos escolher:
u = arctan(4x) e dv = dx
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 4

Para encontrar du = ddx arctan(4x) , dx = 41 + (4x)^2 , dx = 41 + 16x^2 , dx , derivamos v = integral dx = x em relação a :
E para encontrar , integramos :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral arctan(4x) , dx = uv - integral v , du = x cdot arctan(4x) - integral x cdot 41 + 16x^2 , dx
Simplificando a integral restante:
integral 4x1 + 16x^2 , dx

Passo 6

Para resolver w = 1 + 16x^2 Rightarrow dw = 32x , dx Rightarrow dw32 = x , dx , fazemos uma substituição:
integral 4x1 + 16x^2 , dx = integral 4w cdot dw32 = 432 integral 1w , dw = 18 ln|w| + C = 18 ln(1 + 16x^2) + C
Substituindo na integral:

Passo 7

Voltando à expressão original:
integral arctan(4x) , dx = x cdot arctan(4x) - 18 ln(1 + 16x^2) + C

Resposta

integral arctan(4x) , dx = x cdot arctan(4x) - 18 ln(1 + 16x^2) + C

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