CUSTO DE FABRICAÇÃO – Em uma certa fábrica, o custo total para a fabricar q unidades de um produto é C(q) = 0,2q² + q + 900 reais. Foi determinado que aproximadamente q(t) = t² + 100t unidades são fabricadas durante as primeiras t horas de uma jornada de trabalho. Calcule a taxa de variação do custo total de fabricação com o tempo 2 hora após o início de uma jornada de trabalho.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que achar como o custo total de fabricação muda com o tempo, especificamente 2 horas depois do início da produção. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo, mais especificamente a derivada que nos ajuda a entender taxas de variação. Precisaremos das fórmulas do custo total $ C(q) = 0,2q² + q + 900 $ e da quantidade fabricada no tempo $ q(t) = t² + 100t $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que queremos encontrar a taxa de variação do custo em relação ao tempo, ou seja, $ \frac{dC}{dt} $. Para isso, vamos usar a regra da cadeia no cálculo, que basicamente nos permite derivar funções compostas.
Passo 3
A regra da cadeia diz que $ \frac{dC}{dt} = \frac{dC}{dq} \times \frac{dq}{dt} $. Então, vamos derivar o custo $ C(q) $ em relação à quantidade $ q $ e depois a quantidade $ q(t) $ em relação ao tempo $ t $.
Passo 4
Primeiro, derivamos $ C(q) $ em relação a $ q $:
Passo 5
Agora, derivamos $ q(t) $ em relação a $ t $:
Passo 6
Agora, vamos achar $ \frac{dC}{dt} $ avaliando essas derivadas no tempo $ t = 2 $ horas.
Primeiro, calculamos $ q(2) $:
Passo 7
Em seguida, substituímos $ q = 204 $ na derivada de $ C $:
Passo 8
Também substituímos $ t = 2 $ na derivada de $ q $:
Passo 9
Agora, multiplicamos as duas derivadas para encontrar $ \frac{dC}{dt} $ em $ t = 2 $:
Resposta
A taxa de variação do custo total de fabricação 2 horas após o início da jornada de trabalho é de R$ 8.590,40 por hora.