Determine os seguintes quocientes e os restos das divisões indicadas.
a) (x³ - 5x² + 4x - 1) : (x - 2)
a) (x³ - 5x² + 4x - 1) : (x - 2)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de divisão de polinômios! A gente precisa encontrar o quociente e o resto quando dividimos $ x^3 - 5x^2 + 4x - 1 $ por $ x - 2 $. Para isso, vamos usar a técnica da divisão polinomial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a divisão de polinômios. É bem parecido com a divisão que a gente faz com números. Nosso objetivo é dividir o polinômio $ x^3 - 5x^2 + 4x - 1 $ pelo binômio $ x - 2 $ e encontrar dois resultados: o quociente (o quanto a gente consegue dividir) e o resto (o que sobra).
Passo 3
Vamos começar organizando os termos em ordem decrescente de grau, o que já está feito: $ x^3 - 5x^2 + 4x - 1 $. Agora, vamos dividir o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor:
Então, o primeiro termo do nosso quociente é $ x^2 $.
Passo 4
Agora, multiplicamos o divisor $ x - 2 $ pelo termo que acabamos de encontrar $ x^2 $:
Em seguida, subtraímos esse resultado do dividendo:
Passo 5
Agora, repetimos o processo com o novo polinômio resultante $ -3x^2 + 4x - 1 $. Dividimos o primeiro termo pelo primeiro termo do divisor:
Então, o próximo termo do quociente é $ -3x $.
Passo 6
Multiplicamos o divisor pelo novo termo do quociente:
Subtraímos esse resultado do polinômio atual:
Passo 7
Repetimos o processo mais uma vez com $ -2x - 1 $. Dividimos o primeiro termo pelo primeiro termo do divisor:
Então, o último termo do quociente é $ -2 $.
Passo 8
Multiplicamos o divisor por $ -2 $:
Subtraímos esse resultado do polinômio atual:
Como o grau do resto $ -5 $ é menor que o grau do divisor $ x - 2 $, paramos por aqui.
Resposta
O quociente é $ x^2 - 3x - 2 $ e o resto é $ -5 $.