Determine os seguintes quocientes e os restos das divisões indicadas.
a) (x³ - 5x² + 4x - 1) : (x - 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de divisão de polinômios! A gente precisa encontrar o quociente e o resto quando dividimos $ x^3 - 5x^2 + 4x - 1 $ por $ x - 2 $. Para isso, vamos usar a técnica da divisão polinomial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a divisão de polinômios. É bem parecido com a divisão que a gente faz com números. Nosso objetivo é dividir o polinômio $ x^3 - 5x^2 + 4x - 1 $ pelo binômio $ x - 2 $ e encontrar dois resultados: o quociente (o quanto a gente consegue dividir) e o resto (o que sobra).

Passo 3

Vamos começar organizando os termos em ordem decrescente de grau, o que já está feito: $ x^3 - 5x^2 + 4x - 1 $. Agora, vamos dividir o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor:
x^3 - 5x^2 + 4x - 1
Então, o primeiro termo do nosso quociente é $ x^2 $.

Passo 4

Agora, multiplicamos o divisor $ x - 2 $ pelo termo que acabamos de encontrar $ x^2 $:
x - 2
Em seguida, subtraímos esse resultado do dividendo:
x^2

Passo 5

Agora, repetimos o processo com o novo polinômio resultante $ -3x^2 + 4x - 1 $. Dividimos o primeiro termo pelo primeiro termo do divisor:
-3x^2 + 4x - 1
Então, o próximo termo do quociente é $ -3x $.

Passo 6

Multiplicamos o divisor pelo novo termo do quociente:
-3x times (x - 2) = -3x^2 + 6x
Subtraímos esse resultado do polinômio atual:
(-3x^2 + 4x - 1) - (-3x^2 + 6x) &= -3x^2 + 4x - 1 + 3x^2 - 6x &= (4x - 6x) - 1 &= -2x - 1

Passo 7

Repetimos o processo mais uma vez com $ -2x - 1 $. Dividimos o primeiro termo pelo primeiro termo do divisor:
-2x - 1
Então, o último termo do quociente é $ -2 $.

Passo 8

Multiplicamos o divisor por $ -2 $:
-2
Subtraímos esse resultado do polinômio atual:
-2 times (x - 2) = -2x + 4
Como o grau do resto $ -5 $ é menor que o grau do divisor $ x - 2 $, paramos por aqui.

Resposta

O quociente é $ x^2 - 3x - 2 $ e o resto é $ -5 $.

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