O custo para produzir
centenas de unidades de um certo produto é
e a receita é dada por
. Determine a função lucro e determine os valores de
para os quais a produção deste produto seja lucrativo. Resp: A produção será lucrativa para
centenas de unidades
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de função lucro, que faz parte da matemática financeira. A gente precisa descobrir qual é a função lucro a partir das funções de custo e receita, e depois encontrar para quais valores de
(que representam centenas de unidades produzidas) a produção é lucrativa. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções quadráticas e resolver inequações.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função lucro, que é simplesmente a diferença entre a receita e o custo. Então, temos:
Onde:
-
é o lucro -
é a receita -
é o custo
Passo 3
Vamos substituir as funções dadas na fórmula:
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Então, a função lucro é:
Passo 4
Para que a produção seja lucrativa, o lucro
precisa ser maior que zero. Ou seja, precisamos resolver a inequação:
Passo 5
Primeiro, vamos simplificar a inequação dividindo todos os termos por
(lembre-se que ao multiplicar ou dividir por um número negativo, o sinal da inequação muda):
Agora, vamos resolver a equação quadrática correspondente para encontrar os pontos onde o lucro é zero:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 6
Agora, analisando a inequação
, sabemos que uma parábola com coeficiente positivo fica acima do eixo
fora do intervalo das raízes. Ou seja, a produção é lucrativa quando:
Mas, como estamos falando de produção,
representa centenas de unidades, então
deve ser positivo. Portanto, descartamos
.
Resposta
A produção será lucrativa para
centenas de unidades.
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Usando as propriedades dos logaritmos simplifique as expressões:
Se uma substância tem uma meia-vida de
unidades de tempo (anos, horas, etc…) a quantidade
da substância depois de t unidades de tempo (a mesma de
), considerando
a quantidade inicial, é
. Em um método de marcação utiliza-se como indicador o isótopo do potássio
, cuja meia-vida é de 12,5 horas. Se houver
inicialmente, em quantas horas essa substância atingirá
? Resp: Aproximadamente 42 horas.
Supondo que uma colônia de bactérias comece com uma bactéria e dobre seu número a cada hora. Quantas bactérias a colônia terá ao final de 24 horas?