O custo para produzir x centenas de unidades de um certo produto é C(x)=2,23x^2+3,5x+85 e a receita é dada por R(x) = 51 x - 0,27 x^2. Determine a função lucro e determine os valores de x para os quais a produção deste produto seja lucrativo. Resp: A produção será lucrativa para 2 < x < 17 centenas de unidades

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de função lucro, que faz parte da matemática financeira. A gente precisa descobrir qual é a função lucro a partir das funções de custo e receita, e depois encontrar para quais valores de (que representam centenas de unidades produzidas) a produção é lucrativa. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções quadráticas e resolver inequações.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função lucro, que é simplesmente a diferença entre a receita e o custo. Então, temos:
Onde:
  • é o lucro
  • é a receita
  • é o custo

Passo 3

Vamos substituir as funções dadas na fórmula:
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Então, a função lucro é:

Passo 4

Para que a produção seja lucrativa, o lucro precisa ser maior que zero. Ou seja, precisamos resolver a inequação:

Passo 5

Primeiro, vamos simplificar a inequação dividindo todos os termos por (lembre-se que ao multiplicar ou dividir por um número negativo, o sinal da inequação muda):
Agora, vamos resolver a equação quadrática correspondente para encontrar os pontos onde o lucro é zero:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 6

Agora, analisando a inequação , sabemos que uma parábola com coeficiente positivo fica acima do eixo fora do intervalo das raízes. Ou seja, a produção é lucrativa quando:
Mas, como estamos falando de produção, representa centenas de unidades, então deve ser positivo. Portanto, descartamos .

Resposta

A produção será lucrativa para centenas de unidades.

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