Se uma substância tem uma meia-vida de
unidades de tempo (anos, horas, etc…) a quantidade
da substância depois de t unidades de tempo (a mesma de
), considerando
a quantidade inicial, é
. Em um método de marcação utiliza-se como indicador o isótopo do potássio
, cuja meia-vida é de 12,5 horas. Se houver
inicialmente, em quantas horas essa substância atingirá
? Resp: Aproximadamente 42 horas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com meia-vida de uma substância, que é o tempo que leva para a quantidade dessa substância cair pela metade. A fórmula que vamos usar é:
Aqui,
é a quantidade depois de
horas,
é a quantidade inicial, e
é a meia-vida. Vamos precisar entender essa fórmula e como resolver para encontrar o tempo
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores que já temos:
- Quantidade inicial (
) = 10,32 g - Quantidade final desejada (
) = 1 g - Meia-vida (
) = 12,5 horas
Passo 3
A gente vai usar a fórmula da meia-vida para achar o tempo
quando a quantidade chegar a 1 g:
Passo 4
Agora, vamos isolar o termo exponencial. Para isso, dividimos ambos os lados por 10,32:
Passo 5
Para resolver para
, vamos usar logaritmos. Aplicamos o logaritmo de base 2 em ambos os lados:
Passo 6
Calculando o logaritmo:
Usando uma calculadora, encontramos que
, então:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Resposta
A substância atingirá 1 g após aproximadamente 42 horas.
Exercícios relacionados
O custo para produzir
centenas de unidades de um certo produto é
e a receita é dada por
. Determine a função lucro e determine os valores de
para os quais a produção deste produto seja lucrativo. Resp: A produção será lucrativa para
centenas de unidades
Supondo que uma colônia de bactérias comece com uma bactéria e dobre seu número a cada hora. Quantas bactérias a colônia terá ao final de 24 horas?
Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos
e
nos seguintes casos: