O custo para produzir q unidades de um certo produto é dado por C(q) = q³ - 12q² + 48q. O custo marginal para produzir 10 unidades é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o custo de produzir uma certa quantidade de produtos. A função que nos dá o custo é $ C(q) = q^3 - 12q^2 + 48q $. Nosso objetivo aqui é encontrar o custo marginal para produzir 10 unidades. Isso significa que queremos saber quanto custa produzir uma unidade adicional quando já estamos produzindo 10 unidades.

Passo 2

Para encontrar o custo marginal, precisamos calcular a derivada da função de custo em relação a $ q $. A derivada nos dá a taxa de variação do custo em relação à quantidade produzida, ou seja, quanto o custo muda quando produzimos uma unidade a mais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ C(q) = q^3 - 12q^2 + 48q $. Usando as regras de derivação:
  • A derivada de $ q^3 $ é $ 3q^2 $.
  • A derivada de $ -12q^2 $ é $ -24q $.
  • A derivada de $ 48q $ é $ 48 $.
Então, a derivada $ C’(q) $ é:
C(q) = q^3 - 12q^2 + 48q

Passo 4

Agora que temos a expressão para o custo marginal $ C’(q) $, vamos substituir $ q $ por 10 para encontrar o custo marginal quando produzimos 10 unidades:
C'(q)

Passo 5

Calculando cada parte:
3(10)^2 = 3 times 100 = 300
-24(10) = -240
48 = 48
Somando tudo:
300 - 240 + 48 = 108

Resposta

O custo marginal para produzir 10 unidades é R$ 108.

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